Dagens integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Vi får oppgitt at

[tex]erfi (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{t^2} {\rm d}t[/tex].

Bruk dette til å finne

[tex]\int \sqrt{1 + \ln (x)} {\rm d}x[/tex].
Sist redigert av sEirik den 09/06-2007 20:58, redigert 2 ganger totalt.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

sEirik skrev:Vi får oppgitt at
[tex]erf (x) = \int e^{t^2} {\rm d}t[/tex].
Bruk dette til å finne
[tex]\int \sqrt{1 + \ln (x)} {\rm d}x[/tex].
Hmmm.., er ikke error funksjonen def. slik:

[tex]erf (x)={2\over \sqrt{\pi}}\int_0^{x}e^{-t^2}{\rm dt}[/tex]

Ikke at jeg har løst oppgava, men man bruker vel delvis integrasjon. Vår venn - integrals.com - viser erfi(x) som en del av løsninga. Hvordan kjem den inn tru? Nei, jeg har ikke prøvd meg nok på denne. Kanskje ett hint ?
:lol:
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Ok, fant feilen nå. Det er erfi-funksjonen som skal brukes, ikke erf-funksjonen. Ooops :P

Slik er den definert:

[tex]erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{t^2} {\rm d}t[/tex]

Det er forsåvidt også slik at [tex]erfi(x) = \frac{erf(ix)}{i}[/tex], der i er den imaginære enheten.
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Dette er fort og gæli fra notatblokka på nattbordet. Det er bare å poste en enklere løsning når dere finner det. :)

Preliminært resultat:
[tex]\int x{\rm erfi}(x) {\rm d}x = x(x{\rm erfi}(x) - \frac{1}{\sqrt \pi}e^{x^2}) - \int x{\rm erfi}(x) - \frac{1}{\sqrt \pi}e^{x^2} {\rm d}x \\ 2\int x {\rm erfi}(x) {\rm d} x = x^2{\rm erfi}(x) - \frac{1}{\sqrt \pi}xe^{x^2} + \int \frac{1}{\sqrt \pi} e^{x^2}{\rm d}x \\ \int x {\rm erfi}(x) {\rm d} x = \frac{1}{2}x^2{\rm erfi}(x) + \frac{1}{4}{\rm erfi}(x) - \frac{1}{2 \sqrt \pi}xe^{x^2} + C [/tex]


Så over til integralet:
La [tex]u = \sqrt{1+\ln x}[/tex]
Da er [tex]x = e^{u^2-1}[/tex] og [tex]{\rm d}x = 2ue^{u^2-1} {\rm d} u[/tex]

[tex]\int \sqrt{1 + \ln x} {\rm d} x = \frac{2}{e}\int u^2 e^{u^2} {\rm d} u \\ = \frac{2}{e} \left[ \frac{\sqrt \pi}{2}u^2 {\rm erfi}(u) - \sqrt{\pi}\int u{\rm erfi}(u) {\rm d}u \right] \\ = \frac{2}{e} \left[ \frac{\sqrt \pi}{2}u^2 {\rm erfi}(u) - \sqrt{\pi} \left(\frac{1}{2}u^2{\rm erfi}(u) + \frac{1}{4}{\rm erfi}(u) - \frac{1}{2 \sqrt \pi}ue^{u^2}\right) \right] + C \\ = ue^{u^2-1} - \frac{\sqrt \pi}{2e}{\rm erfi}(u) + C \\ = x\sqrt{1 + \ln x} - \frac{\sqrt \pi}{2e}{\rm erfi}(\sqrt{1+\ln x}) + C[/tex]


Så var det bare å begynne å oppdage feil :)
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Stemmer det der, du har jo kommet frem til riktig resultat :P

Jeg gjorde det sånn:

[tex]I = \int \sqrt{1 + \ln (x)} {\rm d}x[/tex]

Delvis

[tex]u^\prime = 1[/tex], [tex]v = \sqrt{1 + \ln (x)}[/tex]

[tex]u = x[/tex], [tex]v^\prime = \frac{1}{2x\sqrt{1 + \ln (x)}}[/tex]

[tex]I = x\sqrt{1 + \ln (x)} - \int \frac{{\rm d}x}{2\sqrt{1 + \ln (x)}}[/tex]

[tex]I = x\sqrt{1 + \ln (x)} - J[/tex], [tex]J = \int \frac{{\rm d}x}{2\sqrt{1 + \ln (x)}}[/tex]

Løser det siste integralet. Variabelskifte.

[tex]u = \sqrt{1 + \ln (x)[/tex], [tex]x = e^{u^2 - 1}[/tex]

[tex]u^\prime = \frac{1}{2x\sqrt{1 + \ln (x)}} = \frac{1}{2ue^{u^2 - 1}}[/tex]

[tex]{\rm d}x = 2ue^{u^2 - 1} {\rm d}u[/tex]

[tex]J = \int \frac{2ue^{u^2 - 1} {\rm d}u}{2u} = \int \frac{1}{e} e^{u^2} {\rm d}u = \frac{\sqrt{\pi}}{2e} \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{u^2} {\rm d}u[/tex]

[tex]J = \frac{\sqrt{\pi}}{2e} erfi(u) + C[/tex]

[tex]J = \frac{\sqrt{\pi}}{2e} erfi(\sqrt{1 + \ln (x)} ) + C[/tex]

[tex]I = x\sqrt{1 + \ln (x)} - \frac{\sqrt{\pi}}{2e} erfi(\sqrt{1 + \ln (x)} ) + C[/tex]
Svar