Likningssystem

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Likningssystem

Innlegg daofeishi » 03/07-2007 22:49

Her er en grei liten oppgave:

Løs likningssystemet
[tex]a + b + c + d = 7 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 11 \\ abc + abd + acd + bcd = -7 \\ abcd = -12[/tex]
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Toppris » 03/07-2007 23:31

Skal denne oppgaven ha en entydig løsning? Jeg klarer i hvert fall ikke å bestemme c og d entydig.
Toppris offline
Maskinmester
Maskinmester
Innlegg: 383
Registrert: 03/02-2005 19:32
Bosted: Stavanger

Innlegg daofeishi » 04/07-2007 00:35

Du vil finne ved symmetri at det finnes flere ekvivalente løsninger. 24 ekvivalente løsninger for å være eksakt.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Sonki » 05/07-2007 11:24

Jeg gjør et forsøk på å løse denne oppgaven
Som sagt vet vi at det er 24 ekvaliente løsninger, men jeg finner bare ut hvilken verdi disse løsningene vil ha.
Vi har at:

[tex]a+b+c+d=7[/tex]
[tex]ab+ac+ad+bc+bd+cd=11[/tex]
[tex]abc+abd+acd+bcd=-7[/tex]
[tex]abcd=-12[/tex]
vi adderer sammen alle fire ligningene og får:
[tex]a+b+c+d+ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd+abcd=7+11-7-12[/tex]
Jeg trekker så leddene sammen og faktoriserer den ene siden
[tex](a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=-1+1=0[/tex]
Dette gir at minst en av faktorene er [tex]0[/tex]
Siden uttrykket er symmetrisk med flere ekvaliente løsninger kan jeg anta at [tex]a+1=0[/tex]. Dette gir at [tex]a=-1[/tex]
Jeg setter [tex]a=-1[/tex] inn i de fire ligningene og får:

[tex]b+c+d=8[/tex]
[tex]bc+bd+cd=19[/tex]
[tex]bcd=12[/tex]
Jeg adderer den første og den siste ligningen med hverandre og trekker så fra den andre ligningen. Dette gir:

[tex](b+c+d)-(bc+bd+cd)+bcd=8+12-19[/tex]
[tex]b+c+d-bc-bd-cd+bcd=1[/tex]
Jeg faktorisere deretter utrykket:
[tex](b-1)(c-1)(d-1)=1-1=0[/tex]
Dette gir at en av faktorene må være lik [tex]0[/tex]
Siden uttrykket fortsatt er symmetrisk kan jeg anta at [tex]b-1=0[/tex]
Dette gir at [tex]b=1[/tex], og jeg setter så dette inn i de tre ligningene og får
[tex]c+d=7[/tex]
[tex]cd=12[/tex]
Vi får at [tex]c=7-d[/tex]
setter dette inn i den andre ligningen
[tex]d(7-d)=12[/tex]
[tex]7d-d^2=12[/tex]
[tex]d=3[/tex]
Setter [tex]d=3[/tex] inn i den en ligningen som gir at:
[tex]c+3=7[/tex]
[tex]c=4[/tex]
Vi har dermed funnet ut at:
[tex]a=-1[/tex]
[tex]b=1[/tex]
[tex]c=4[/tex]
[tex]d=3[/tex]
Siden uttrykket er symmetrisk kan a, b, c og d "bytte" løsningsverdier. Dette gir [tex]4*3*2=24[/tex] ekvaliente løsninger.
Sist endret av Sonki den 06/07-2007 12:50, endret 2 ganger.
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Innlegg Janhaa » 05/07-2007 11:28

Dette var en artig og helt ny oppgave for meg. Ikke så enkel og grei, men annerledes.
Vel, jeg innfører nye variable: A = a+c, B=b+d, C=ac, D=bd.
Slik at likningssystemet (*) kan skrives på følgende måte:

[tex]I:\;\; A + B = 7[/tex]
[tex]II:\; A\cdot B + C + D = 11[/tex]
[tex]III: \; A\cdot D + B\cdot C = -7[/tex]
[tex]IV: \; C\cdot D = -12[/tex]

som gir følgende verdier for A, B, C, D:

[tex]I:\;\;A=4,\;B=3[/tex]
[tex]II\;og\;III:\;C=3,\;D=-4[/tex]
[tex]IV:\;\;C=\pm 3,\;D=\mp 4[/tex]

eksempler på koordinater som oppfyller lik.systemet over:

[tex]a_1=3, \;b_1=4, c_1=1, \; d_1=-1[/tex]
[tex]a_2=1, \;b_2=-1, c_2=3, \; d_2=4[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------

Her prøver jeg nye verdier på A, B, C og D som tilfredsstiller (*).

[tex]I:\;\;A=3,\;B=4[/tex]
[tex]II\;og\;III:\;C=-4,\;D=3[/tex]
[tex]IV:\;\;C=\pm 4,\;D=\mp 3[/tex]

videre gir dette følgende koordinater:

[tex]a_3=4, \;b_3=3, c_3=-1, \; d_3=1[/tex]
[tex]a_4=-1, \;b_4=1, c_4=4, \; d_4=3[/tex]

------------------------------------------------------------

Slik kan man holde på ganske lenge, men observerer at 4 ulike koordinater genererer 4! = 24 ulike ekvivalente løsninger vha symmetri og permutasjoner.

Jeg presenterer de 24 ulike løsningene på følgende måte:

{a, b, c, d} = {-1, 1, 3, 4}, {-1, 1, 4, 3}, {-1, 3, 1, 4}, {-1, 3, 4, 1}, {-1, 4, 3, 1}, {-1, 4, 1, 3}

{a, b, c, d} = {1, -1, 3, 4}, {1, -1, 4, 3}, {1, 3, 4, -1}, {1, 3, -1, 4}, {1, 4, -1, 3}, {1, 4, 3, -1}

{a, b, c, d} = {3, 4, -1, 1}, {3, 4, 1, -1}, {3, 1, 4, -1}, {3, -1, 4, 1}, {3, 1, -1, 4}, {3, -1, 1, 4}

{a, b, c, d} = {4, 3 -1, 1}, {4, 3, 1, -1}, {4, -1, 3, 1}, {4, -1, 1, 3}, {4, 1, -1, 3}, {4, 1, 3, -1}

Jeg har testa for 10-12 løsninger, og da oppfylles likningssystemet.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg Sonki » 05/07-2007 11:33

her er en oppfølger:
løs likningsystemet:
[tex]ab+c+d=3[/tex]
[tex]bc+d+a=5[/tex]
[tex]cd+a+b=2[/tex]
[tex]da+b+c=6[/tex]
hvor a, b, c og d er reele tall
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Innlegg mrcreosote » 05/07-2007 13:02

Oppgava kan også løses med Viètes formler (gjetter på det er hit daofeishi ville):

La [tex]P(x)=x^4-7x^3+11x^2+7x-12=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)[/tex]

Dette gir det opprinnelige ligningssystemet når vi ganger ut. P kan faktoriseres til [tex]P(x)=(x+1)(x-1)(x-3)(x-4)[/tex], for eksempel ved hjelp av rational root theorem.

Dermed er løsningene (a,b,c,d) permutasjonene av (-1,1,3,4).

Trur jeg har sett oppgava di før, Sonki, stammer den fra den britiske olympiaden? Jeg veit i alle fall hvilket år den er fra...
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Janhaa » 05/07-2007 13:29

mrcreosote skrev:Oppgava kan også løses med Viètes formler (gjetter på det er hit daofeishi ville):
Trur jeg har sett oppgava di før, Sonki, stammer den fra den britiske olympiaden? Jeg veit i alle fall hvilket år den er fra...

Er disse problemoppgavene ( fra daofeishi og Sonki) fra matematikk olympiader? Evt. de internasjonale konkurransene? :o
Jøss, da er jeg fornøyd.

Kan man bruke alskens knep, manipulasjoner, formler og teoremer i disse konkurransene? Selv om løsningsmetodene og verktøyene dine involverer høyskole-/universitetsteori !
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg Sonki » 05/07-2007 13:30

Jepp den stammer fra den britiske olympiaden runde 1 2003. :D Jeg ble litt fornøyd når jeg greide å løse den selv, og tenkte noen andre kunne få prøve seg på den
Sonki offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 88
Registrert: 21/06-2007 12:31

Innlegg daofeishi » 08/07-2007 15:18

Fint arbeid. Selv løste jeg den som mrcreosote, ved vietes formler. Jeg kan i øyeblikket ikke huske hvor oppgaven er fra. Jeg lurer på om det var en innledende oppgavene til en olympiade.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester