Oppgave i tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Oppgave i tallteori

Innlegg mrcreosote » 07/07-2007 10:17

Finn alle hele a,b,c med 1<a<b<c som er slik at (a-1)(b-1)(c-1) deler abc-1.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Knuta » 21/07-2007 16:26

Jeg er ikke helt sikker på oppgaven, tenker du på at

[tex]\frac{a\cdot b\cdot c-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} = \text{Heltall}[/tex]

Slik at hvis vi f.eks. setter inn a=2, b=4 og c=8 så får vi en gyldig løsning?

[tex]\frac{2\cdot 4\cdot 8-1}{(2-1)(4-1)(8-1)} = 3[/tex]
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 21/07-2007 17:16

Stemmer, Knuta.

Det var ikke allverdens respons på denne, så jeg kan vel røpe at du har funnet halvparten av løsningene. (Og med dette ville du oppnådd 0 poeng i enhver seriøs matematikkonurranse.)
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Knuta » 21/07-2007 17:58

Tja nå er det jo ferietider så det er begrenset hvor mange det er som sitter her. Du hadde strengt tatt ikke trengt og fortelle fasiten men her er følgende løsninger:

2,4,8 gir 3
3,5,15 gir 2

Men hvis det er lovlig med limiter og grenseverdier så har vi flere løsninger, der i=uendelig:

2,3,i gir 3
3,4,i gir 2

Dobbelt limit, i den grad det går ann å definere b<c

2,i,i gir 2

Eventuellt trippel limit der selvfølgelig a<b<c hvis det lov å definere det slik

i,i,i gir 1


Kunne sikkert ha skrevet en lengre avhandling om dette, men ikke nå. Tror jeg ikke hadde skåret så høyt med det svaret heller. Men du har ikke flere slike på lager?
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 22/07-2007 10:08

Var ikke meninga å spolere moroa, beklager. Men vis gjerne hvordan du kom fram til løsningene dine og vis at det ikke fins flere. Uendeligheter er ikke så interessant.

Noen litt lettere oppgaver da:

For a,b,c positive heltall med [tex]a\leq b\leq c[/tex] har vi at abc=84 og (a+1)(b+1)(c+1)=180. Bestem a,b,c.

Finn alle ikke-negative heltall a,b,c,d er slik at [tex]5^a+6^b+7^c+11^d=1999[/tex].
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Knuta » 22/07-2007 12:30

Nå arbeider jeg stort sett med metoder som ikke er lovlige. d.v.s. prøv og feilmetoden.
Hvis vi tar utgangspunktet

[tex]\frac{a\cdot b\cdot c-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} = n[/tex]

og setter inn de laveste verdiene {2,3,4} så kan vi finne ut at den høyeste verdien av n=3.83333 Det gir at n kan være 1, 2 eller 3. Siden det ikke var så mange tall å prøve tok jeg og testet

{2,3,i} og det ga n=3. Dette gir oss at ved å endre på c varierer n mellom 3 og 3.8883 ergo Ingen løsning på {2,3,x}

Ved å prøve {2,4,x} varierer n fra 2.66666 til 3.25 og en tilfeldighet at jeg fant den eneste løsning {2,4,8} som gir n=2
ved {2,5,x} varierer n fra 2.5 til 2.95 ingen løsning
{2,6,x} varierer n 2.4 til 2.7666666 ingen løsning
Setter man at b=inf vil det gi {2,i,i} n=2. altså ingen flere løsninger med a=2

så testet jeg med {3,x1,x2} settet kom kom fram til det samme at {3,5,15} med n=2 er eneste løsning

{4,5,6} gir n=1.983333 og dermed finnes det ikke flere løsninger.





Oppgave 2.
Først prøvde jeg å sette opp som ligningsett:

abc=84
(a+1)(b+1)(c+1)=180

og fikk følgende svar:

[tex]a=\frac{\pm \sqrt{c^4-526c^3+8521c^2-16296c+7056}-c^2+95c-84}{2c^2+2c}[/tex]

[tex]b=\frac{\mp \sqrt{c^4-526c^3+8521c^2-16296c+7056}-c^2+95c-84}{2c^2+2c}[/tex]

Men det ga lite ull. så jeg tok å faktorisert 84 og fikk 2*2*3*7 som jeg kunne sette inn i (a+1)(b+1)(c+1) og nå var det ikke så mye. Det gir følgene fire kombinasjoner, hvorav den ene er korrekt.

{3,4,7} = 160
{2,6,7} = 168
{2,3,14} = 180
{2,2,21} = 198






Oppgave 3.
Siden a,b,c og d kan være 0 vil jeg først definere at x[sup]0[/sup]=1

så finner vi ut alle verdier av a hvorav 0<5[sup]a[/sup]<=1996 som gir dette settet {0,1,2,3,4} tilsvarende for b gir {0,1,2,3,4}, c gir {0,1,2,3} og d gir {0,1,2,3}. Dette gir oss følgende oss følgende kombinasjoner i 4 ledd som skal summeres {1,5,25,125,625} {1,6,36,216,1296} {1,7,49,343} og {1,11,121,1331}. Deretter er det bare å teste, og jeg finner bare 625+36+7+1331 = 1999 som gir oss en løsningen: a=4, b=2, c=1 og d=3 (mulig at jeg har blingset litt på tallene og at det kan være flere løsninger)


Det hadde kanskje vært mer arbeid med [tex]x^a+y^b+z^c+w^d=n[/tex] der alle tall er heltall der 1<x<y<z<w og 4<n<1000000 men da ligner det veldig på oppgavene her http://projecteuler.net/index.php?section=view Det er mange oppgaver som er av interesse, da oppgavene egentlig er beregnet for å algoritmer for å finne antall kombinasjoner, men så viser det seg at en enkelt formel kan gi svaret på antallet i stedet.
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 15/08-2007 18:20

Ny oppgave:

Løs i positive heltall [tex](1+\frac1a)(1+\frac1b)(1+\frac1c)=2[/tex] hvor [tex]a\leq b\leq c[/tex].
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Solar Plexsus » 17/08-2007 02:30

Det er åpenbart at [tex]a \neq 1[/tex] i.o.m. at [tex]b,c > 0[/tex]. Videre er

[tex]2 \;=\; (1 \:+\: \frac{1}{a})(1 \:+\: \frac{1}{b})(1 \:+\: \frac{1}{c}) \; \leq \: (1 \:+\: \frac{1}{a})^3[/tex]

siden [tex]0 \:<\: a \: \leq \: b \: \leq \: c[/tex]. Dette medfører at

[tex]a \; \leq \; \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}[/tex]

Summa summarum har vi at [tex]2 \: \leq \: a \: \leq \: 3.[/tex] Når [tex]a=2[/tex] får vi likningen

[tex](b - 3)(c - 3) = 12,[/tex]

mens [tex]a=3[/tex] gir likningen

[tex](b - 2)(c - 2) = 6.[/tex]

Disse to likningene har løsningene

(a,b,c) = (2,4,15), (2,5,9), (2,6,7), (3,3,8), (3,4,5).
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1662
Registrert: 03/10-2005 11:09

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 13 gjester