Høstintegraler

[sEirik]

Sommeren er over, sola er borte bak skyene, temperatur derivert er mindre enn null osv osv. På tide med høstintegraler. Og jeg begynner med et ikke så veldig vanskelig et:

[tex]I_1 = \int \tan^k (x) {\rm d}x[/tex], [tex]k > 2[/tex]

(Hvis jeg har gjort en feil slik at integralet over ikke er løselig, så tar jeg intet ansvar.)

[Janhaa]

Sommeren er over, sola er borte bak skyene, temperatur derivert er mindre enn null osv osv. På tide med høstintegraler. Og jeg begynner med et ikke så veldig vanskelig et:
[tex]I_1 = \int \tan^k (x) {\rm d}x[/tex], [tex]k > 2[/tex]
(Hvis jeg har gjort en feil slik at integralet over ikke er løselig, så tar jeg intet ansvar.)

Denne har jeg integrert før, var en av integrala som forsvant !
Men har ikke tid nå, men hvis noen vil prøve seg, gis hintet:

[tex] \tan^k(x)=\tan^{k-1}(x)\tan(x)[/tex]

[sEirik]

Eller slik jeg tenkte:

[tex]\tan^k (x) = \tan^k(x) + \tan^2(x) - \tan^2(x) - 1 + 1 = \tan^{k-2}(x) (\tan^2 (x) + 1) - (\tan^2(x) + 1) + 1[/tex]

[Janhaa]

Da fortsetter jeg, skriver integralet slik:

[tex]I=\int \tan^k(x) {\rm dx}=\int \tan^{k-2}(x) \tan^2(x){\rm dx}[/tex]

der

[tex] \tan^{k-2}(x) \tan^2(x)=\tan^{k-2}(x)(\sec^2(x)-1)=\tan^{k-2}(x)\sec^2(x)\,-\,\tan^{k-2}(x)[/tex]

[tex]I=\int \tan^{k-2}(x)\sec^2(x) {\rm dx}\,-\,\int \tan^{k-2}(x) {\rm dx}[/tex]

u = tan(x),
du = (1 + tan[sup]2[/sup](x)) dx = sec[sup]2[/sup](x) dx

[tex]I_1=\int u^{k-2} {\rm du}=\frac{1}{k-1}\,u^{k-1}[/tex]

[tex]I=\frac{\tan^{k-1}(x)}{k-1}\,-\,\int \tan^{k-2}(x){\rm dx}\;\;\;[/tex],k [symbol:ikke_lik] 1

[sEirik]

Ja, men klarer du å finne en generell formel? En som ikke er rekursiv?