Hadet kalkulator (hvilket tall er størst?)

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Noen ganger trenger man å vite egenkaper til tall som ikke kalkulatoren kan hjelpe deg med. Denne gangen er det fordi tallene er litt for store. Prøv å finne ut, uten å jukse med tekniske hjelpemidler, hvilke tall som er størst:

a) La [tex]n!^{(k)}[/tex] bety at du tar fakultetet av n k ganger. For eksempel, [tex]n!^{(3)} = ((n!)!)![/tex] Hva er størst, [tex]1999!^{(2000)}[/tex] eller [tex]2000!^{(1999)}[/tex]

b) [tex]\frac{10^{1999}+1}{10^{2000}+1}[/tex] eller [tex]\frac{10^{1998}+1}{10^{1999}+1}[/tex]

c) [tex]2000![/tex] eller [tex]1000^{2000}[/tex]

d) [tex]1999^{1999}[/tex] eller [tex]2000^{1998}[/tex]
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Oppg a:

[tex]1999!^{(2000)} = 1999! * 1999!^{(1999)}[/tex]
[tex]2000!^{(1999)} = 2000^{1999} * 1999!^{(1999)}[/tex]

Viser at:
[tex]1999! * 1999!^{(1999)} < 2000^{1999} * 1999!^{(1999)}[/tex]

[tex]1999! < 2000^{1999}[/tex]

Dette er klart fordi [tex]1999! = 1999*1998*1997...2*1[/tex] Med 1999 faktorer
[tex]2000^{1999} = 2000*2000...*2000[/tex] med 1999 faktorer

[tex]2000!^{(1999)} er altså størst[/tex]
Sist redigert av Charlatan den 10/09-2007 11:46, redigert 1 gang totalt.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

c)

[tex]1000^{2000} = (10^3)^{2000} = 10^{2003}[/tex] Dette tallet har 2003 nuller.

[tex]2000! = (2000*1999*1998...1001*1000)*999*998...2*1[/tex] Dette tallet er ganget med 1001 faktorer over 1000, og vil derfor ha minst [tex]3*1001 =3003[/tex] nuller

[tex]2001! er altså størst[/tex]
Sist redigert av Charlatan den 10/09-2007 11:46, redigert 1 gang totalt.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

[tex]\frac{10^{1999}+1}{10^{2000}+1}[/tex] eller [tex]\frac{10^{1998}+1}{10^{1999}+1}[/tex]

[tex]\frac{10^{1999}+1}{10^{2000}+1} = \frac{1}{10}\frac{10^{2000}+1+9}{10^{2000}+1} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10^{2001}+10}[/tex]

Gjør det samme på det andre uttrykket og får:
[tex]\frac{10^{1998}+1}{10^{1999}+1} = \frac{1}{10}+\frac{9}{10^{2000}+10}[/tex]

Viser at:

[tex]\frac{1}{10}+\frac{9}{10^{2000}+10} > \frac{1}{10} + \frac{9}{10^{2001}+10}[/tex]

[tex]\frac{9}{10^{2000}+10} > \frac{9}{10^{2001}+10}[/tex]
Som er helt klart for uttrykket til venstre har en større nevner.

[tex]\frac{10^{1998}+1}{10^{1999}+1}[/tex] er altså størst

Håper svarene mine er riktige da
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Jarle10 skrev:c)

[tex]1000^{2000} = (10^3)^{2000} = 10^{2003}[/tex] Dette tallet har 2003 nuller.

[tex]2000! = (2000*1999*1998...1001*1000)*999*998...2*1[/tex] Dette tallet er ganget med 1001 faktorer over 1000, og vil derfor ha minst [tex]3*1001 =3003[/tex] nuller

[tex]2001! er altså størst[/tex]
Her må du passe på litt..
Er f.eks
[tex]1000^2 = (10^3)^{2} = 10^5[/tex]?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Oisann litt for kjapp i svingen der..
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

[tex]1000^{2000} = 1000 \cdot 1000 \cdot ... \cdot 1000 \cdot 1000[/tex]

[tex]2000! = 2000 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1999 \cdot 2[/tex]

Setter vi opp 2000! slik ser vi at to og to faktorer slått sammen er mindre enn to faktorer av [tex]1000^{2000}[/tex]. Altså må [tex]1000^{2000}[/tex] være størst.
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Jarle10 skrev:Oppg a:

[tex]1999!^{(2000)} = 1999! * 1999!^{(1999)}[/tex]
Dette stemmer nok dessverre ikke, Jarle. Les definisjonen av notasjonen igjen. Du kan heller ikke bestemme hvilket tall som er størst bare ved å se på antall nuller. 99999 har ingen nuller, 100 har to. Hvilket er størst? Ellers flott :)
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

daofeishi skrev: a) La [tex]n!^{(k)}[/tex] bety at du tar fakultetet av n k ganger. For eksempel, [tex]n!^{(3)} = ((n!)!)![/tex] Hva er størst, [tex]1999!^{(2000)}[/tex] eller [tex]2000!^{(1999)}[/tex]

[tex]1999!^{(2000)}\ >\ 2000!^{(1999)}[/tex]

Grunnen er enkel.

[tex]1999!^{(2000)}\ =\ (1999!)!^{(1999)}\ =\ (vannvittig\ digert\ tall)!^{(1999)}[/tex]

og

[tex](vannvittig\ digert\ tall)!^{(1999)}\ >\ 2000!^{(1999)}[/tex]
Svar