Kan du klokka?

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Jeg tror jeg har løst denne oppgaven nå.

Jeg omtaler de like lange viserne kortviser og langviser for en lettere forståelse.

Regner med at man ikke skiller mellom klokka 1 og 13, 2 og 14, osv..

Figuren er en klokke, som har 12 avmerkede punkter hvor avstanden mellom dem langs omkretsen er 1. Den totale omkretsen er derfor 12.
Vi definerer et par enheter:

k: avstanden fra sist passerte timetall
[tex]k \in [0,1 \rangle \ , \ k \in \mathbb{R}[/tex]

p: avstand fra klokken 12 (eller 0)
[tex]k \in [0,12 \rangle \ , \ p \in \mathbb{R}[/tex]

Vi skal finne ut når det ikke er kun èn mulighet for posisjonen til kortviseren og langviseren. Altså, når vi ikke kan bestemme om en bestemt viser er kortviseren eller langviseren når vi vet den eksakte posisjonen for begge.

La oss anta at en observert viser er langviseren. Da vil avstanden fra 12, (eller 0) være p. For å sjekke at dette virkelig er langviseren må derfor [tex]k=\frac{p}{12} \ [/tex], hvor k avstanden fra sist passerte timetall, være avstanden til kortviseren fra sist passerte timetall.
p hører altså til langviseren, og k hører til kortviseren.

Vi definerer to ytterligere enheter:
n - Antall timer bak kortviseren (fra 12, (eller 0)), altså avstanden nedrundet til et helt tall fra 12 (eller 0) til endepunktet av k.
[tex]n \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} [/tex]
s - Antall timer bak langviseren (fra 12, (eller 0)), altså avstanden nedrundet til et helt tall fra 12 (eller 0) til endepunktet av p.
[tex]s \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} [/tex]

Vi vil altså finne ut når viserne kan forveksles. Altså at lengden k+n kan representere langviseren og p-s kan representere kortviseren samtidig som k kan representere kortviseren og p kan representere langviseren.

Dette fører til likningssettet:
[tex]\frac{p}{12}=k \\ \frac{k+n}{12}=p-s[/tex]

[tex]\frac{p}{12}=k \\ \Downarrow \\ p=12k \\ \\ \frac{k+n}{12}=p-s \\ \Downarrow \\ \frac{k+n}{12}=12k-s \\ \Downarrow \\ k+n=144k-12s \\ \Downarrow \\ 143k=n+12s[/tex]

Siden både n og s er heltall mellom 0 og 11, må 143k også være heltall. Dette gir følgende muligheter for k:

[tex]k \in \{ \frac{0}{143},\frac{1}{143},\frac{2}{143},...,\frac{141}{143},\frac{142}{143} \}[/tex]

Vi sløyfer [tex]\frac{143}{143}[/tex] fordi [tex]k \in [0, 1 \rangle[/tex].

Et antall muligheter hvor langviseren og kortviseren ikke kan bestemmes er når de er direkte på hverandre. For å finne disse bruker vi likningen:
[tex]143k=n+12s[/tex]

Det første vi må anta er at n=s, fordi viserne må nødvendigvis ligge i samme område. Vi setter at n=s=t
[tex]t \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}[/tex]

Da får vi: [tex]143k=n+12s = 143k=13t \Rightarrow 11k=t[/tex]
Siden [tex]k \in [0,1 \rangle[/tex] og t er et helt tall, er mulighetene for k disse:
[tex]k \in \{ \frac{0}{11},\frac{1}{11},\frac{2}{11},\frac{3}{11},\frac{4}{11},\frac{5}{11},\frac{6}{11},\frac{7}{11},\frac{8}{11},\frac{9}{11},\frac{10}{11} \}[/tex]

Vi vil finne ut av hvilke av disse verdiene som gjør at visernes posisjon er den samme. Da må [tex]p-s=k[/tex] og [tex]k+n=p[/tex]
Siden [tex]n=s=t[/tex], er [tex]p-t=k[/tex] og [tex]k+t=p \Rightarrow p-t=k[/tex] Begge likningene oppfylles for alle verdier av k,p,t. Vi ser at hvis n=s så vil viserne være over hverandre. Altså, det er kun en mulighet for at man ikke kan skille viserne når de ligger mellom to timetall, og at denne muligheten er bare at de ligger direkte over hverandre.

Alle elementene foregående sett for k ligger i settet før. Derfor kan vi trekke fra disse. Det første settet hadde 143 elementer, og det foregående settet har 11 elementer. Derfor må antall ganger man ikke kan vite hva klokken er være 143-11=132 ganger i løpet av 12 timer.

Er dette riktig?
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Godt jobba, Jarle! Stemmer det, og løsninga di var fin lesning.

Honnør til resten også, tydelig at dere har tenkt noen gode tanker.

Oppgava var forøvrig henta fra Abelfinalen i 1987.
Svar