Tipping

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Siden det er lørdag, tar vi ei oppgave om tipping. Vanligvis er det 12 kamper med 3 mulige utfall hver på en tippekupong, men vi skal gjøre det litt enklere.

Et eksempel først: Vi har en tippekupong med 3 kamper, hver med 2 mulige utfall. Dette gir altså [tex]2^3=8[/tex] mulige rekker som kan inntreffe. Hva er det minste antall rekker du må levere inn for å være garantert minst 2 rette?

Dette er ikke spesielt vanskelig å finne svaret på; hvis vi leverer inn ei rekke med 3 hjemmeseire og ei rekke med 3 borteseire, vil vi uansett åssen det går ha ei rekke med minst 2 rette. (Overbevis deg sjøl om dette.) Leverer vi bare inn ei rekke derimot vil vi kunne risikere å ikke få 2 rette. Derfor er svaret at vi må levere minst 2 rekker for å være garantert 2 rette.

Nå kan vi lage et utall forskjellige tippekuponger og regne på hvor mange rekker vi trenger for å være garantert et antall rette. Her er noen forslag:

5 kamper à 2 utfall. Vi ønsker å være garantert 3 rette. Hvor mange rekker kreves?

4 kamper à 3 utfall, minst 3 rette.

7 kamper à 2 utfall, minst 6 rette.

Bonusoppgave: Vis at man trenger minst 1839 rekker for å være sikker på premie på den tradisjonelle tippekupongen, altså 12 kamper med 3 mulige utfall hver og premier for 10, 11 og 12 rette.

Dere som er flinke med datamaskiner klarer kanskje å bruke disse til å finne ut av noen av problemene.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

mrcreosote skrev:Siden det er lørdag, tar vi ei oppgave om tipping. Vanligvis er det 12 kamper med 3 mulige utfall hver på en tippekupong, men vi skal gjøre det litt enklere.
Bonusoppgave: Vis at man trenger minst 1839 rekker for å være sikker på premie på den tradisjonelle tippekupongen, altså 12 kamper med 3 mulige utfall hver og premier for 10, 11 og 12 rette.
Tar denne fort og gæli:
Sh: sannsynlighet

Sh. for 12 rette er [tex]\;3^{-12}[/tex]
Sh. for 11 rette er[tex]\;2\cdot 12 \cdot 3^{-12}[/tex]
Sh. for 10 rette er[tex]\;2\cdot 12\cdot 11\cdot 3^{-12}[/tex]
---------------------------------------------------------------------------
Sum sh. for 10, 11 og 12 rette er [tex]\;289\cdot 3^{-12}[/tex]

Hvilket impliserer[tex]\;\frac{3^{12}}{289}\,\approx \, 1839\;[/tex]rekker.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Stemmer dette. Det er det som kalles det teoretiske minimum for et tippesystem. Et lite hint kan jo være å regne ut dette for oppgavene som er gitt og jobbe ut i fra det.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Folk er visst ikke så spillegale her inne.

Omformulering av en av oppgavene: Det fins 81 ulike 4-strenger i 3 variable. Disse er 0000, 0001, 0002, 0010,..., 2221, 2222. Kall mengden av disse M og definer en funksjon [tex]f:M\times M \rightarrow \{0,1,2,3,4\}[/tex] ved at f(m,n) er lik antall like komponenter i m og n. For eksempel vil f(0000,0000)=4, f(0001,0010)=2 og f(0120,2210)=1.

Finn nå [tex]a_1,\dots,a_9\in M[/tex] slik at [tex]\underset{m\in M}{\min}\underset{\text{i}}{\max} (f(a_i,m))\geq3[/tex].

Forsøkt forklart med ord: Finn a[1],...,a[9] i M som er sånn at uansett hvilken m i M vi velger vil minst en av a være slik at [tex]f(a_i,m)\geq3[/tex], altså at minst 3 komponenter er like.
Svar