Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Moderatorer: Vektormannen , espen180 , Aleks855 , Solar Plexsus , Gustav , Nebuchadnezzar , Janhaa
Sonki
Cayley
Innlegg: 88 Registrert: 21/06-2007 13:31
07/10-2007 20:32
en litt morsom oppgave jeg fant
Hva er summen av de reelle røttene til
[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]
den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da
=)
Descartes
Innlegg: 447 Registrert: 09/05-2007 22:41
07/10-2007 21:39
røttene? jeg finner bare én reell rot.
kanskje du mener
[tex]x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0[/tex]?
(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)
Mayhassen
Brahmagupta
Innlegg: 374 Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal
07/10-2007 22:08
Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?
=)
Descartes
Innlegg: 447 Registrert: 09/05-2007 22:41
07/10-2007 22:11
det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon
Mayhassen
Brahmagupta
Innlegg: 374 Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal
07/10-2007 22:58
Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?
Charlatan
Guru
Innlegg: 2499 Registrert: 25/02-2007 17:19
07/10-2007 22:59
Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:
[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]
Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).
Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]
De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.
Kan uansett lage en regel:
For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba
Altså:
[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]
Dette er med imaginære røtter da.
Magnus
Guru
Innlegg: 2286 Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim
08/10-2007 11:18
For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.
Mayhassen
Brahmagupta
Innlegg: 374 Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal
08/10-2007 11:27
Akkurat
Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag
Sonki
Cayley
Innlegg: 88 Registrert: 21/06-2007 13:31
08/10-2007 14:37
Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne
mrcreosote
Guru
Innlegg: 1995 Registrert: 10/10-2006 20:58
14/10-2007 23:12
Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.
Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?
=)
Descartes
Innlegg: 447 Registrert: 09/05-2007 22:41
15/10-2007 12:36
hint(?):
[tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
Carve
Noether
Innlegg: 49 Registrert: 19/10-2007 00:05
19/10-2007 01:41
[tex]x^3 - 3x^2 + 3x + 1[/tex] = [tex]x^3 - 3x + 3x^2 - 1 +2[/tex]
= [tex](x-1)^3+2=0[/tex]
=> x = 1 - 2^(1/3)
Sonki
Cayley
Innlegg: 88 Registrert: 21/06-2007 13:31