Dette er ikke en oppgave eller nøtt, men en litt interessant sak.
Noen har kanskje hørt om Lagranges 4-kvadrat-setning (også kjent som "Bachets formodning"), som sier at alle naturlige tall kan skrives som summen av fire kvadrattall. For eksempel er
[tex]3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2[/tex]
[tex]31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2[/tex]
[tex]310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2[/tex]
Slik kan en skrive alle naturlige tall. Denne setningen ble bevist av Lagrange allerede i 1770. (et tidligere bevis skrevet av Fermat ble aldri publisert.)
Vi beveger oss frem til 1993. Et uhyre komplisert bevis som aldri ble publisert (fordi det var så komplisert) ble skrevet for det såkalte 15-teoremet.
15-teoremet
Hvis en kvadratisk form (et polynom der summen av eksponentene til variablene i hvert ledd er 2) kan representere alle naturlige tall fra 1 til 15, kan den samme kvadratiske formen representere alle naturlige tall. (Selvfølgelig når variablene er heltallige.) Ved hjelp av 15-teoremet er det en smal sak å vise at Lagranges 4-kvadrat-setning på holde.
[tex]F(x,y,z) = 4x^2 + y^2 + 3z^2 - 7xy + xz - 2yz[/tex]
er et eksempel på en kvadratisk form.
[tex]g(w,x,y,z) = w^2 + 2x^2 + 5y^2 + 5z^2[/tex] er eksempel på en kvadratisk form som kan representere alle naturlige tall fra 1 til 15 (prøv om du vil). Teoremet sier da at alle naturlige tall kan skrives på formen g(w,x,y,z).
I 2000 ble det oppdaget et mye enklere bevis (men allikevel komplisert nok til at jeg slett ikke har sett på det) som ble publisert.
Og grunnen til at jeg postet dette er at det er et morsomt eksempel på at matematiske oppdagelser fortsatt blir gjort i vår tid, og at dette teoremet sikkert er en godbit for tallteori-tilhengerne her inne.
15-teoremet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
