Fikk ei fin oppgave av en kamerat:
Hva er sannsynligheten for at ei vilkårlig matrise i [tex]M(\mathbb{Z}_p,n)[/tex] der p er et primtall er invertibel?
Invertibel matrise
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
nybegynner
- Noether
- Innlegg: 37
- Registrert: 21/01-2008 17:50
Antall invertible matriser i gruppa:
Søylene til en invertible matrise er lineært uavhengige. Siden det er [tex]p[/tex] elementer for hver posisjon i en søyle av lengde [tex]n[/tex], er det [tex]p^n[/tex] mulige søyler. I tillegg kan vi ikke regne med [tex]0[/tex] vektoren slik at vi har [tex]p^n-1[/tex] søyler å velge mellom.
Den første søyla for en matrise i gruppa er det [tex]p^n-1[/tex] muligheter.
For den andre søyla for samme matrisen er det [tex]p^n-p[/tex] muligheter siden det er [tex]p[/tex] antall søyler i utspenninga til den første søyla.
For den tredje søyla for samme matrisen er det [tex]p^n-p^2[/tex] muligheter siden det er [tex]p^2[/tex] antall søyler i utspenninga til den første og andre søyla.
...
For den [tex]k[/tex]-te søyla er det [tex]p^n-p^{k-1}[/tex] muligheter siden det er [tex]p^{k-1}[/tex] antall søyler i utspenninga til de foregående søylene.
Dermed er det [tex](p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})[/tex] antall invertible matriser i gruppa.
Antall matriser i gruppa: [tex]p[/tex] valg for [tex]n^2[/tex] posisjoner gir [tex]p^{n^2}[/tex] antall matriser i gruppa.
Sannsynligheten: [tex]\frac{1}{p^{n^2}}\prod_{k=0}^{n-1}p^n-p^k[/tex]
Søylene til en invertible matrise er lineært uavhengige. Siden det er [tex]p[/tex] elementer for hver posisjon i en søyle av lengde [tex]n[/tex], er det [tex]p^n[/tex] mulige søyler. I tillegg kan vi ikke regne med [tex]0[/tex] vektoren slik at vi har [tex]p^n-1[/tex] søyler å velge mellom.
Den første søyla for en matrise i gruppa er det [tex]p^n-1[/tex] muligheter.
For den andre søyla for samme matrisen er det [tex]p^n-p[/tex] muligheter siden det er [tex]p[/tex] antall søyler i utspenninga til den første søyla.
For den tredje søyla for samme matrisen er det [tex]p^n-p^2[/tex] muligheter siden det er [tex]p^2[/tex] antall søyler i utspenninga til den første og andre søyla.
...
For den [tex]k[/tex]-te søyla er det [tex]p^n-p^{k-1}[/tex] muligheter siden det er [tex]p^{k-1}[/tex] antall søyler i utspenninga til de foregående søylene.
Dermed er det [tex](p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})[/tex] antall invertible matriser i gruppa.
Antall matriser i gruppa: [tex]p[/tex] valg for [tex]n^2[/tex] posisjoner gir [tex]p^{n^2}[/tex] antall matriser i gruppa.
Sannsynligheten: [tex]\frac{1}{p^{n^2}}\prod_{k=0}^{n-1}p^n-p^k[/tex]