Finn minste M

[mrcreosote]

En fin og artig sak som dukka opp på skolen i dag:

Gitt en mengde S av 13 forskjellige reelle tall, hva er det minste tall M som er slik at vi alltid kan finne 2 tall x og y i S så [tex]0<\frac{x-y}{1+xy}<M[/tex]?

Prøv å gjette før du begynner å tenke!

[Charlatan]

ligger x,y og M i S?

EDIT: Så at du hadde skrevet det nå

[mrcreosote]

Den øvre grensa M trenger ikke ligge i S, bare å velge 13 negative tall så ser vi det er umulig. Men det skal finnes et par x,y i S så ulikheta er oppfylt.

Edit: Så du hadde editert nå.

[mrcreosote]

Endrer litt på oppgava:

Gitt en mengde S av 13 forskjellige reelle tall, vis at vi alltid kan finne 2 forskjellige tall x og y i S så

[tex]0<\frac{x-y}{1+xy}<2-\sqrt3[/tex]

[daofeishi]

Ålrait, etter litt diskusjon med en venn av meg fikk vi tatt knekken på denne. Vi merker oss at [tex]\frac{x-y}{1+xy}[/tex] ligner merkelig mye på [tex]\tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}[/tex]

La oss nå si at [tex]x = \tan(a)[/tex] og [tex]y = \tan(b)[/tex] Siden [tex]\tan([0, \pi)) = \mathbb{R}[/tex], og er bijektiv kan vi finne unike a og b på intervallet [0, [symbol:pi] ) som gir rette x og y.

Ved duehullprinsippet vi det alltid finnes to tall på dette intervallet som ligger mindre enn [tex]\frac {\pi}{12}[/tex] enheter fra hverandre. Siden tan er strengt voksende på [0, [symbol:pi]/12], betyr dette at

[tex]0 < \frac{x-y}{1+xy} < \tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}[/tex]

[mrcreosote]

Sterkt! Man veit man er ganske kul når man plutselig gjenkjenner en rasjonal funksjon som en tangensdifferens. Finnes neppe noen andre gode løsninger på denne?