matematikk.net

La f(x) være en funksjon definert for alle positive, reelle x, slik at f(x + y) = f(xy) for alle positive x og y. Bevis at f(x) = c for en gitt konstant c (og at dette er eneste mulige funksjon som tilfredsstiller kravet.)

Regnes 0 som et positivt tall her? Hvis så, er løsningen veldig enkel.

Uhm, nei. 0 regnes ikke med. Da hadde oppgaven blitt en smule enkel

Hehe

Siden f(x+1) = f(x), holder det å vise det for intervallet <0,1]

Anta [tex]x \in \<0,1][/tex], da eksisterer en y og z i samme intervall slik at yz = x og y+z = 1, siden de to linjene vil krysse.

Stemmer, ingentingg. Flott løsning, men litt kort for andre som kanskje har lyst å forstå beviset ditt.

En liten oppsummering: Vi kan altså finne x og y slik at x + y = 1 og xy =a for alle a i intervallet (0, 1]. Dette betyr at f(a) = f(1), og siden funksjonen er periodisk med periode 1, impliserer dette at funksjonen er konstant.