Konstruksjonsoppgave

[daofeishi]

Gitt to linjestykker med lengde a og b, finn en måte å konstruere et kvadrat med areal ab (kun med passer og linjal)

[Knuta]

Vi leter etter et kvadrat med side x.
x = [symbol:rot](ab)

Før jeg legger alt for mye ressurser i dette, er det løsbart konstruksjonsmessig?
Det er lett å få til a+b, a-b og [symbol:rot](a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])

[daofeishi]

Jada, det er en fullstendig løselig oppgave.

[Knuta]

Jeg klarte ikke la være

1. Konstruer en rektangel med sidene a og b.
2. Forleng den ene siden a med b.
3. Forleng siden b
4. Finn midpunktet på a+b.
5. Dra en bue fra midpunktet på a+b igjennom den forlengede b.
6. Da har vi side x.
7. Konstruer kvadrat med side x, og det skal ha samme areal som ab


Har ikke tid akkurat nå, men hvis det er ønskelig så kommer jeg tilbake med matematisk bevis når jeg får tid.

[daofeishi]

Stemmer! Min løsning var i samme gata:
Jeg kaller linjestykket med lengde a for A og linjestykket med lengde b for B
- Marker A og B som forlengelser av hverandre på en linje. Hele linjestykket kaller vi for AB.
- Halver AB
- Slå en bue om halveringspunktet, slik at AB blir diameter i sirkelen.
- Konstruer normalen i punktet som skiller A fra B. Linjestykket avgrenset av dette punktet og buen har lengde [symbol:rot] (ab)
- Konstruer kvadratet

Det følger jo forresten av utledningen over at dersom man er gitt et linjestykke med lengde a, kan man fint konstruere et linjestykke med lengde [symbol:rot] a. (Bare la b = 1)

[sEirik]

Men hvordan blir det med enhetene?
Du kan vel ikke konstruere et linjestykke som er [tex]5\ \sqrt{\text{cm}}[/tex] langt?

[daofeishi]

Bare utfør den tilhørende algebraen, så vil du se at alt er dimenjonalt rett

[Knuta]

Se tegning: http://mathworld.wolfram.com/RectangleSquaring.html

[tex]EH=\sqrt{GF^2-GE^2} \text{ der } GF=\frac{BE+ED}{2} \text{ og } GE=BE-GF[/tex]

Utregnet gir dette

[tex]EH=\sqrt{BE\cdot ED}[/tex]