Punkt og kuler...

[sEirik]

Bare et av mine mange tankesprang... Har ingen forutsetninger for å kunne løse den selv, men kan jo lufte tanken.



Vi ser en 2-dimensjonal kule her, og tre punkt. Vi ser at hvis vi velger tre punkt kan vi trekke linjer fra et av punktene til hvert av punktene på kulen uten å skjære kulen først (det ble kanskje litt snirklete forklart).
En kan velge å se på kulen som jorda, og punktene som satellitter - til sammen kan de tre satellittene sende signaler til alle punkter på jordoverflata. Det samme kunne man ikke ha oppnådd med bare to satellitter.

Vi går opp en dimensjon, 3-dimensjonal kule, som er mer realistisk, i og med at vi egentlig regner med at jorda er 3-dimensjonal. Nå må det fire punkter (eller satellitter til) for å kunne dekke hele jorda med radiosignaler.

Hvis vi øker til 4 dimensjoner, eller n dimensjoner, hvor mange punkter trenger vi minst for å "dekke" hele n-kulen?[/img]

[Mayhassen]

Hmm, bare en tanke som slo meg. Hvis jorda er en perfekt kule vil det ikke da holde med to satelitter? Eller må disse satelittene også "se" hverandre? Hvis de ikke må det så klarer jo en satelitt å se halve kula vel?

Og hvis satelittene må ha kontakt med hverandre ville det jo så holdt med 3, to som titter på jorda og en som holder kontakten mellom satelittene?

[Knuta]

Mayhassen: Hvis en satelitt henger over nordpolen og en over sydpolen, vil de aldri kunne dekke ekvator. Uansett avstand.

sEirik: Hvordan ser en 4-dimensjonal kule ut?

[Mayhassen]

Vel, hvis vi ser på 0.dimensjon holder det med en. I 1.dimensjon må det være tilstrekkelig med 2. I 2.dimenson viser du at det holder med 3. I 3.dimensjon holder det med 4.

Dette er jo et tydelig mønster, vi ser jo at det hele tiden må være en mer satelitt enn graden på dimensjonen. Da vil det være naturlig å si at det må 5 satelitter til i 4.dimensjon osv. Om denne argumentasjonen holder mål vet jeg ikke, men kanskje det holder med 4 4.dimensjonsatelitter?

[daofeishi]

Forsiktig Mayhassen, å se mønster kan lede til en løsning, men et potensielt mønster er ikke en løsning i seg selv. Vi har ingen garanti for at ressonementet stemmer.

Intuitivt må vi finne det "enkleste" n-dimensjonale legemet som sirkelen kan inskrives i. I to dimensjoner er det en trekant, i tre dimensjoner et tetraeder. Antall satellitter som trengs for en n-dimensjonal kule vil være gitt ved antall hjørner i et n-tetraeder.

Dette viser seg faktisk å gi n+1 satelitter som minste mulighet.

Dette tror jeg kan gjøres matematisk gyldig, og vil lede til en fullstendig løsning.

Knuta: Hvis du kutter en 4-dmensjonal hyperkule med et 3-dimensjonalt rom, vil det se ut som en kule. Beveger du så hyperkula langs den 4. dimensjonen, er resultatet en først voksende, så minkende kule i tre dimensjoner. (Tenk deg hva som ville skjedd dersom du kuttet en 3-dimensjonal kule med et 2-dimensjonalt plan - og deretter beveget kula gjennom planet i den 3. dimensjonen. Hva ville du se dersom du "bodde på planet"?)

Edit: Fant denne: http://www.geocities.com/jsfhome/Think4 ... tents.html
Har ikke fått lest den selv ennå, men kanskje den kan virke oppklarende