Jensens ulikhet

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Hendige ulikheter kan man aldri få nok av; Jensens er et eksempel på en slik en og også en av mine favoritter.

Ei form av ulikheta sier at om I er et intervall i [tex]\mathbb R[/tex] og f en reell funksjon (dvs [tex]f:I\rightarrow\mathbb R[/tex]) som også er konveks, [tex]x_1,\dots,x_n\in I[/tex] og [tex]\lambda_1,\dots,\lambda_n>0,\, \sum\lambda_i=a[/tex] vil [tex]f(a^{-1}\sum\lambda_ix_i)\leq a^{-1}\sum\lambda_if(x_i)[/tex].

Skulle f være konkav gjelder den omvendte ulikheta. (Bevis: Betrakt -f.) Generelt kan det være lurt å tenke på at en funksjon er konveks om den annenderiverte er positiv, og ofte vil alle lambdaene som kan ses på som vekter være like.

Det kan kanskje se ut som mange krav for liten nytte, men når man først har blitt kjent med ulikheta er den veldig anvendelig. Prøv å sette n=2 og tegn en vilkårlig konveks funksjon og se hva vi får da. Virker dette naturlig? Beviset går ved induksjon på n.

La oss se hva vi kan bruke Jensens ulikhet til med noen oppgaver:

1) I en sirkel med radius 1 er et trapes innskrevet. Den ene grunnlinja er en diameter i sirkelen. Hva er det største arealet trapeset kan ha? (Hint: Se på den konkave sinusfunksjonen og noen passelige vinkler.)

2) Vis for reelle positive x, y, z at [tex]\frac x{y^2+z^2}+\frac y{z^2+x^2}+\frac z{x^2+y^2}\geq\frac32[/tex]. (Hint: Definer [tex]S=x^2+y^2+z^2[/tex] og lag en smart funksjon f.)

3) Utled AM-GM ved å se på log x. AM-GM sier at det geometriske gjennomsnittet av n tall er begrensa av det aritmetiske: [tex]\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\leq\frac{x_1+\dots+x_n}n[/tex].

4) Nå som AM-GM er kjent: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16460

Er det interesse hiver jeg opp litt flere oppgaver etter hvert.
mattis1
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 19/09-2011 11:17

Hei,

jeg er ny på forumet og kommenterer et innlegg fra 2007 :-)

Oppgave 2 inneholder vel en skrivefeil (sett x = y = z = 10
og regn ut, så ser man det). Imidlertid, hva var det meningen
at oppgaven skulle gå ut på?
Hoksalon
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 265
Registrert: 03/08-2010 22:12

Tegnet skal mest sannsynlig være andre veien.
Mattebruker

Dette innlegget frå 2011 dukka opp då eg søkte på Jensen's ulikhet.

Innsendar presenterer 3 oppgaver som kan løysast ved å bruke denne "reiskapen".

Har prøvd meg på oppgave 1, men er ikkje overtydd om at løysinga held mål.
Trapeset som innskrivast i sirkelen må vere symmetrisk , dvs. vinklane( u ) ved grunnlinja
( diameter i sirkelen ) må vere like store. Det same kan seiast om vinklane (180 - u ) ved
"topplinja" ( parallell med grunnlinja ).
Forslag til løysing: Innfører vinkelen( u ) som parameter og får at

Arealet A( u ) = sin(2u) - 1/2 * sin( 4u ) = sin(2u) + 1/2 * sin(-4u ) = sin( 2u ) +1/2 * sin(-4u + 360)

= (sin(2u) + sin(2u) + sin(-4u + 360))/2

Når eg brukar Jensen på dette uttrykket, kjem eg fram til rett svar. Føler likevel
at her er noko som ikkje stemmer.
Ønskjer innspel/kommentar frå deg som måtte lese dette.
Svar