Jensens ulikhet
Lagt inn: 27/11-2007 21:12
Hendige ulikheter kan man aldri få nok av; Jensens er et eksempel på en slik en og også en av mine favoritter.
Ei form av ulikheta sier at om I er et intervall i [tex]\mathbb R[/tex] og f en reell funksjon (dvs [tex]f:I\rightarrow\mathbb R[/tex]) som også er konveks, [tex]x_1,\dots,x_n\in I[/tex] og [tex]\lambda_1,\dots,\lambda_n>0,\, \sum\lambda_i=a[/tex] vil [tex]f(a^{-1}\sum\lambda_ix_i)\leq a^{-1}\sum\lambda_if(x_i)[/tex].
Skulle f være konkav gjelder den omvendte ulikheta. (Bevis: Betrakt -f.) Generelt kan det være lurt å tenke på at en funksjon er konveks om den annenderiverte er positiv, og ofte vil alle lambdaene som kan ses på som vekter være like.
Det kan kanskje se ut som mange krav for liten nytte, men når man først har blitt kjent med ulikheta er den veldig anvendelig. Prøv å sette n=2 og tegn en vilkårlig konveks funksjon og se hva vi får da. Virker dette naturlig? Beviset går ved induksjon på n.
La oss se hva vi kan bruke Jensens ulikhet til med noen oppgaver:
1) I en sirkel med radius 1 er et trapes innskrevet. Den ene grunnlinja er en diameter i sirkelen. Hva er det største arealet trapeset kan ha? (Hint: Se på den konkave sinusfunksjonen og noen passelige vinkler.)
2) Vis for reelle positive x, y, z at [tex]\frac x{y^2+z^2}+\frac y{z^2+x^2}+\frac z{x^2+y^2}\geq\frac32[/tex]. (Hint: Definer [tex]S=x^2+y^2+z^2[/tex] og lag en smart funksjon f.)
3) Utled AM-GM ved å se på log x. AM-GM sier at det geometriske gjennomsnittet av n tall er begrensa av det aritmetiske: [tex]\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\leq\frac{x_1+\dots+x_n}n[/tex].
4) Nå som AM-GM er kjent: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16460
Er det interesse hiver jeg opp litt flere oppgaver etter hvert.
Ei form av ulikheta sier at om I er et intervall i [tex]\mathbb R[/tex] og f en reell funksjon (dvs [tex]f:I\rightarrow\mathbb R[/tex]) som også er konveks, [tex]x_1,\dots,x_n\in I[/tex] og [tex]\lambda_1,\dots,\lambda_n>0,\, \sum\lambda_i=a[/tex] vil [tex]f(a^{-1}\sum\lambda_ix_i)\leq a^{-1}\sum\lambda_if(x_i)[/tex].
Skulle f være konkav gjelder den omvendte ulikheta. (Bevis: Betrakt -f.) Generelt kan det være lurt å tenke på at en funksjon er konveks om den annenderiverte er positiv, og ofte vil alle lambdaene som kan ses på som vekter være like.
Det kan kanskje se ut som mange krav for liten nytte, men når man først har blitt kjent med ulikheta er den veldig anvendelig. Prøv å sette n=2 og tegn en vilkårlig konveks funksjon og se hva vi får da. Virker dette naturlig? Beviset går ved induksjon på n.
La oss se hva vi kan bruke Jensens ulikhet til med noen oppgaver:
1) I en sirkel med radius 1 er et trapes innskrevet. Den ene grunnlinja er en diameter i sirkelen. Hva er det største arealet trapeset kan ha? (Hint: Se på den konkave sinusfunksjonen og noen passelige vinkler.)
2) Vis for reelle positive x, y, z at [tex]\frac x{y^2+z^2}+\frac y{z^2+x^2}+\frac z{x^2+y^2}\geq\frac32[/tex]. (Hint: Definer [tex]S=x^2+y^2+z^2[/tex] og lag en smart funksjon f.)
3) Utled AM-GM ved å se på log x. AM-GM sier at det geometriske gjennomsnittet av n tall er begrensa av det aritmetiske: [tex]\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\leq\frac{x_1+\dots+x_n}n[/tex].
4) Nå som AM-GM er kjent: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16460
Er det interesse hiver jeg opp litt flere oppgaver etter hvert.
