Ok, denne kan løses greit hvis man bruker at [tex]e^{ix} = \cos x + i\sin x[/tex]
Bestem [tex]\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{3^m}\cos^3(3^m x)[/tex]
Sum
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg gjør et forsøk.
Vi benytter oss av at [tex]4\cos^3(x) = 3\cos(x) + \cos(3x)[/tex], noe som kan vises med de Moivres identitet over.
Vi skal bestemme summen
[tex]S = \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos^3 \left( 3^m x \right)[/tex]
Fra trippelvinkelidentiteten over, følger det at
[tex]\begin{align} 4S &= \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \left[ 3 \cos \left( 3^m x \right) + \cos \left( 3^{m+1} x \right) \right] \\ &= 3 \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^m x \right) \qquad + \qquad \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^{m+1} x \right) \\ &= 3 \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^m x \right) \qquad - \qquad 3\sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^{m+1} \cos \left( 3^{m+1} x \right) \\ &= 3\cos(x) \end{align}[/tex]
Dette gir at
[tex]S = \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos^3 \left( 3^m x \right) = \frac{3}{4} \cos(x)[/tex]
Vi benytter oss av at [tex]4\cos^3(x) = 3\cos(x) + \cos(3x)[/tex], noe som kan vises med de Moivres identitet over.
Vi skal bestemme summen
[tex]S = \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos^3 \left( 3^m x \right)[/tex]
Fra trippelvinkelidentiteten over, følger det at
[tex]\begin{align} 4S &= \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \left[ 3 \cos \left( 3^m x \right) + \cos \left( 3^{m+1} x \right) \right] \\ &= 3 \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^m x \right) \qquad + \qquad \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^{m+1} x \right) \\ &= 3 \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos \left( 3^m x \right) \qquad - \qquad 3\sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^{m+1} \cos \left( 3^{m+1} x \right) \\ &= 3\cos(x) \end{align}[/tex]
Dette gir at
[tex]S = \sum _{m=0} ^\infty \left( -\frac 1 3 \right)^m \cos^3 \left( 3^m x \right) = \frac{3}{4} \cos(x)[/tex]