Finn alle funksjoner

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Finn alle reelle funksjoner f som er kontinuerlige og positive på intervallet [0,1] og er slik at

[tex]\int_0^1(f(x))^2 dx = \int_0^1 xf(x) dx = \frac13[/tex]

Denne er fullt mulig å få til for elever i videregående skole.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Fort og gæli, en av funksjonene er x iallfall:

Hvis begge sider i integrallikninga deriveres, står vi igjen med:

[tex](f(x))^2\,=\,xf(x)[/tex]

som gir

[tex]f(x)\,=\,x[/tex]

Som igjen stemmer med opprinnelig integral.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Det kjøper jeg ikke helt umiddelbart; hva deriverer du med hensyn på?

Siden [tex]\int_0^1\frac23x dx = \int_0^1 x^2 dx[/tex] kommer du med samme argumentasjon fram til noe som ikke riktig stemmer.

Men at f=x er en løsning er helt rett, kan du bevise at det ikke fins fler?
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Vink: Trekk det ene integralet fra det andre. + litt argumentasjon
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

mrcreosote skrev:Det kjøper jeg ikke helt umiddelbart; hva deriverer du med hensyn på?
Siden [tex]\int_0^1\frac23x dx = \int_0^1 x^2 dx[/tex] kommer du med samme argumentasjon fram til noe som ikke riktig stemmer.
Men at f=x er en løsning er helt rett, kan du bevise at det ikke fins fler?
Jeg forstår du ikke kjøpte argumentasjonen min, brukte vel ett minutt på oppgava. Forøvrig deriverte jeg mhp x, tror eg. Men ser jo at resonnementet er diffust...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar