Funksjonallikninger biter ikke
Lagt inn: 08/12-2007 17:49
Vi har tidligere hatt noen funksjonallikninger på forumet, som kanskje har vært i vanskeligste laget. Her er noen oppgaver som kanskje introduserer oppgavetypen i et litt mer piano tempo
I en vanlig likning søker vi å finne ut hvilen verdi for en gitt verdi som tilfredsstiller et uttrykk. I en funksjonallikning ønsker vi derimot å finne alle funksjoner som tilfredsstiller en gitt identitet.
En mulig funksjonallikning er:
[tex]f(xy) = f(x) + f(y)[/tex]
som vi ser er tilfredsstilt av logaritmiske funksjoner [tex]f(x) = \log(x)[/tex]
En annen er
[tex]f(x + y) = f(x) + f(y)[/tex]
som er tilfredsstilt av [tex]f(x) = ax[/tex] for en konstant a.
Dette er en viktig funksjonallikning kalt Cauchys funksjonallikning, og det kan vises at dersom funksjonen f er kontinuerlig, vil f(x) = ax være eneste løsning.
En tredje er:
[tex]f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)[/tex]
Denne likningen er kjent som d'Alemberts funksjonallikning, og ble løst av Cauchy. Alle funksjoner som tilfredsstiller denne er [tex]f(x) = 0[/tex], [tex]f(x) = \cos(ax)[/tex] og [tex]f(x) = \frac{1}{2}(e^{ax} + e^{-ax})[/tex].
Dessverre finnes det ikke noen enhetlig teori som tar for seg løsning av funksjonallikninger. Her er eneste mulighet en porsjon kreativitet og tålmodighet (og det er derfor disse oppgavene ofte er funnet i matematiske konkurranser.)
Mange teknikker kan fungere. Veldig ofte er det som skal til en litt smart manipulering av variabler i likningen. Andre ganger må man "gjette seg fram" til en funksjon som tilfredsstiller likningen, og så prøve å bevise at dette er eneste løsning. Siste steget kan ofte være vanskelig, så vi bryr oss ikke så mye om det nå. Prøv å bryne deg på de følgende oppgavene. De bør være tilgjengelige for videregåendeelever med litt pågangsmot:
1. Finn alle reelle funksjoner f(x) og g(y) slik at [tex]f(x) + g(y) = \log(1 + x + xy + y)[/tex]
2. Finn alle reelle funksjoner som tilfredsstiller
[tex]f(a+b) - f(a-b) = 4ab[/tex]
3. Prøv å finne så mange løsninger som mulig til de følgende funksjonallikningene, ved å gjette eller på annet vis. (Det er godt mulig du får bruk for noen av funksjonallikningene nevnt over)
a) [tex]f(x)f(x+1) = f(2x+1)[/tex]
b) [tex]f(x)f(x+1) = \frac{1}{2} \left( f(1) + f(2x+1)\right)[/tex]
c) [tex]f(x)f(x+1) = f(x)-f(x+1)[/tex]
d) [tex]f(x)f(x+1) = f(f(x)+x)[/tex]
4. Tenk deg at du har to kontinuerlige funksjoner c og s som tilfredsstiller de følgende funksjonallikningene:
[tex]c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) \\ s(x+y) = s(x)c(y)+s(y)c(x)[/tex]
du vet også at [tex]c(0) \neq 0[/tex]. Vis at c og s har de følgende egenskapene:
a) [tex]s(0) = 0[/tex] og [tex]c(0) = 1[/tex]
b) La [tex]h(x) = c(x)^2 + s(x)^2[/tex] Vis at h er en løsning til [tex]h(x+y) = h(x) h(y)[/tex]
c) Tenk deg at det eksisterer en konstant K slik at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 \leq K[/tex] for alle x. Vis at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 = 1[/tex]
d) La oss anta at c(x) og s(x) kan deriveres, og at [tex]c^\prime(0) = 0[/tex]. Bruk dette til å vise at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 = 1[/tex]
I en vanlig likning søker vi å finne ut hvilen verdi for en gitt verdi som tilfredsstiller et uttrykk. I en funksjonallikning ønsker vi derimot å finne alle funksjoner som tilfredsstiller en gitt identitet.
En mulig funksjonallikning er:
[tex]f(xy) = f(x) + f(y)[/tex]
som vi ser er tilfredsstilt av logaritmiske funksjoner [tex]f(x) = \log(x)[/tex]
En annen er
[tex]f(x + y) = f(x) + f(y)[/tex]
som er tilfredsstilt av [tex]f(x) = ax[/tex] for en konstant a.
Dette er en viktig funksjonallikning kalt Cauchys funksjonallikning, og det kan vises at dersom funksjonen f er kontinuerlig, vil f(x) = ax være eneste løsning.
En tredje er:
[tex]f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)[/tex]
Denne likningen er kjent som d'Alemberts funksjonallikning, og ble løst av Cauchy. Alle funksjoner som tilfredsstiller denne er [tex]f(x) = 0[/tex], [tex]f(x) = \cos(ax)[/tex] og [tex]f(x) = \frac{1}{2}(e^{ax} + e^{-ax})[/tex].
Dessverre finnes det ikke noen enhetlig teori som tar for seg løsning av funksjonallikninger. Her er eneste mulighet en porsjon kreativitet og tålmodighet (og det er derfor disse oppgavene ofte er funnet i matematiske konkurranser.)
Mange teknikker kan fungere. Veldig ofte er det som skal til en litt smart manipulering av variabler i likningen. Andre ganger må man "gjette seg fram" til en funksjon som tilfredsstiller likningen, og så prøve å bevise at dette er eneste løsning. Siste steget kan ofte være vanskelig, så vi bryr oss ikke så mye om det nå. Prøv å bryne deg på de følgende oppgavene. De bør være tilgjengelige for videregåendeelever med litt pågangsmot:
1. Finn alle reelle funksjoner f(x) og g(y) slik at [tex]f(x) + g(y) = \log(1 + x + xy + y)[/tex]
2. Finn alle reelle funksjoner som tilfredsstiller
[tex]f(a+b) - f(a-b) = 4ab[/tex]
3. Prøv å finne så mange løsninger som mulig til de følgende funksjonallikningene, ved å gjette eller på annet vis. (Det er godt mulig du får bruk for noen av funksjonallikningene nevnt over)
a) [tex]f(x)f(x+1) = f(2x+1)[/tex]
b) [tex]f(x)f(x+1) = \frac{1}{2} \left( f(1) + f(2x+1)\right)[/tex]
c) [tex]f(x)f(x+1) = f(x)-f(x+1)[/tex]
d) [tex]f(x)f(x+1) = f(f(x)+x)[/tex]
4. Tenk deg at du har to kontinuerlige funksjoner c og s som tilfredsstiller de følgende funksjonallikningene:
[tex]c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) \\ s(x+y) = s(x)c(y)+s(y)c(x)[/tex]
du vet også at [tex]c(0) \neq 0[/tex]. Vis at c og s har de følgende egenskapene:
a) [tex]s(0) = 0[/tex] og [tex]c(0) = 1[/tex]
b) La [tex]h(x) = c(x)^2 + s(x)^2[/tex] Vis at h er en løsning til [tex]h(x+y) = h(x) h(y)[/tex]
c) Tenk deg at det eksisterer en konstant K slik at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 \leq K[/tex] for alle x. Vis at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 = 1[/tex]
d) La oss anta at c(x) og s(x) kan deriveres, og at [tex]c^\prime(0) = 0[/tex]. Bruk dette til å vise at [tex]c(x)^2 + s(x)^2 = 1[/tex]