Stigeproblemer

[jolenissen]

Sitter og løser det velkjente stigeproblemet der en ti meter lang stige blir satt opp mot en vegg. En kasse på 1x1 meter står inntill veggen. Og stigen skal da stå så tett intill kassen som mulig. Hvor langt opp på veggen går stigen.

Jeg har sett at dett problemet er løst før, men jeg prøvde meg på en litt enklere måte.

Jeg har tegnet figur og lengden stigen går opp på veggen kaller jeg for x. Lengden ut fra veggen kaller jeg y.

Ved å bruke Pythagoras får jeg da at:
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 10[sup]2[/sup]
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 100

Så langt er det meste greit. Problemet oppstår når jeg lager en annen likning (som skulle være min snarvei til en lettvind løsning). Ved å se på figuren av stigen opp mot veggen som en figur sammensatt av to trekanter og et kvadrat.

Den største trekanten vil da ha kateter med lengder 1 og (x-1)
Den minste trekanten vil ha kateter med lengden 1 og (y-1)
De to hypotenusene skal tilsammen ha lengden 10.

Jeg setter opp følgende sammenheng:
(x-1)[sup]2[/sup] + 1[sup]2[/sup] + (y-1)[sup]2[/sup] + 1[sup]2[/sup] = 10[sup]2[/sup]
x[sup]2[/sup] - 2x + 2 + y[sup]2[/sup] - 2y + 2 = 100
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] - 2x - 2y = 96

Fra den første sammenhengen hadde jeg at:
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 100

Jeg setter inn dette og får:
-2x - 2y = 96 - 100
-2x - 2y = -4
-2(x + y) = -4
x + y = 2

Jeg skjønner her at jeg må ha gjort en eller annen feil i utregninga, siden x og y tilsammen umulig kan bli 2. Hva har jeg gjort feil? Kan noen hjelpe meg med å se hvor jeg har gjort noe "ulovlig"?

[halten]

(x-1)^2 + 1^2 + (y-1)^2 + 1^2 = 10^2

Her har du gjort noe ulovlig. Pythagoras fungerer ikke sånn, er jeg redd.

[jolenissen]

Men jeg mente dette nærmest var logisk at ved å addere katetene i den minste trekanten opphøyd i andre med katetene i den mellomste trekanten opphøyd i andre. Burde ikke svaret da bli hypotenusen opphøyd i andre.

Jeg regner vel egentlig med at det er her feilen ligger, men jeg ser det fortsatt ikke helt...

[Janhaa]

har løst oppgava her:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ight=stige

SE hvordan den kan løses på en litt fiffig måte
med 2. gradslikning mhp (x + y)

[jolenissen]

Jeg har sett andre lsninger tidligere ja, og nå ser jeg også hvorfor jeg ikke kan bruke Pythagoras ved addisjon av de fire katetene. Takk.