Hvilken dag falt julaften på i år n?

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
193
Cayley
Cayley
Innlegg: 83
Registrert: 13/02-2006 14:47

Hei, jeg kom til å tenke på at julaften faller på en mandag i år, og tenkte med meg selv at det måtte være lenge siden julaften falt på en mandag sist. Så tenkte jeg at det måtte eksistere en måte å finne ut dette på matematisk, både når julaften falt på en mandag sist, og generelt hvilken ukedag julaften (eller en hvilken som helst annen dag) falt på et gitt år. Etter litt sysling med dette problemet er jeg kommet frem til en formel, som man kan vri og vende på avhengig av hva man skal finne. Deretter prøvde jeg å finne ut hvilken dag julaften falt på i år 1030, 1905 og 1945, men tilsynelatende virket det som om formelen var feil. Imidlertid fant jeg raskt ut at jeg bare hadde regnet feil på en funksjon i formelen på negative tall... Kanskje finner noen ut hvilken funksjon det er snakk om.

Alle er velkommen til å presentere tanker om problemet under, så kan undertegnede presentere sin løsning etter en tid.
Markonan
Euclid
Euclid
Innlegg: 2136
Registrert: 24/11-2006 19:26
Sted: Oslo

Aj. Jeg hadde en eksamensoppgave som var ca akkurat som sånn det her.
Oppgaven var 'hvilken dag er 19.juni 2125' eller noe.

Husker derimot ikke fremgangsmåte/metode for svaret. (Når jeg tenker meg om, tror jeg kanskje ikke jeg klarte akkurat den oppgaven). Skal se om jeg klarer å spore opp eksamenssett og fasit.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Fort og galt:

Vi tar utgangspunkt i julaften i år, som faller på en mandag.
Vi må nå huske skuddårsreglene:
- Hvert år som er delelig på 4 er et skuddår BORTSETT fra de årene som er delelig på 100, men ikke 400. (Sjekk Wikipedia)

La nå hver dag være representert ved et tall, slik:
Mandag 1
Tirsdag 2
Onsdag 3
Torsdag 4
Fredag 5
Lørdag 6
Søndag 0

Da vian vi regne oss fram til hvilken dag julaften er på for år n slik:

[tex]J(n) = 1- 365(2007-n) - \lfloor \frac{2007-n}{4} \rfloor + \lfloor \frac{2007-n}{100} \rfloor - \lfloor \frac{2007-n}{400} \rfloor \pmod{7}[/tex]

Etter litt forenkling, gir det:


[tex]J(n) = n - \lfloor \frac{3-n}{4} \rfloor + \lfloor \frac{7-n}{100} \rfloor - \lfloor \frac{7-n}{400} \rfloor \pmod{7}[/tex]

Jeg sjekka det mot en 5-6 julaftener på denne sida, og det ser ut til å stemme.

Du kan gjerne presentere din egen løsning.
193
Cayley
Cayley
Innlegg: 83
Registrert: 13/02-2006 14:47

Hyggelig med svar så fort. Jeg for min del satt med dette problemet relativt lenge før jeg fant en formel, men min formel var dog litt enklere enn din og tar ikke utgangspunkt i de reglene som du siktet til. Derfor er det mulig at den kan gi feil svar for noen få årstall. Den baserer seg på at vi befinner oss i år 2007, og finner ukedagen julaften falt på for [tex]n[/tex] år siden. Man kan alternativt tenke seg for eksempel år 1030 og sette [tex]y=1030[/tex] og [tex]n=2007-y=2007-1030=977[/tex]. I alle fall er ukedagen gitt ved kongruensen

[tex]J(y)=J(2007-n)\equiv8-n-k\pmod7\[/tex] der [tex]k=\lfloor\frac{n}{4}\rfloor[/tex] ([tex]\lfloor{x}\rfloor[/tex] er det tallet [tex]k[/tex] slik at [tex]k\le{x}[/tex] der [tex]k[/tex] er et heltall og er størst mulig.)

Svaret man får for en gitt [tex]n[/tex] kan man kalle [tex]d[/tex], der [tex]U_d[/tex] representerer alle ukedagene for [tex]d\in[1,7][/tex] og [tex]d\in\mathbb{N}[/tex].

Da kan man prøve å regne ut hvilken dag julaften falt på i år 1030:

Setter [tex]y=1030=2007-n\Rightarrow n=977[/tex]

[tex]J(1030)\equiv8-977-k\pmod7\ \equiv-969-k\pmod7\equiv-969-\lfloor\frac{977}{n}\rfloor\pmod7\ \equiv-969-245\pmod7\ \equiv-1214\pmod7\ \equiv4\pmod7\[/tex]

Altså har man at [tex]J(1030)\equiv d \equiv4[/tex] og setter [tex]U_d=U_4=torsdag[/tex]

Svaret blir da julaften falt på en torsdag i år 1030. Dette kan kontrolleres her.

PS:
1) Problemene jeg hadde, fikk jeg fordi jeg brukte gulvfunksjonen feil på negative tall (jeg rundet opp i stedet for ned). Jeg må innrømme at det tok litt tid å finne ut at det var det jeg hadde gjort feil.
2) Jeg har fremdeles ikke funnet ut hvordan man kan finne ut hvilke år julaften falt på en mandag. Da må man vel kanskje løse en kongruensligning. Det kan ikke jeg, og jeg kan i hvert fall ikke løse en kongruensligning som involverer gulvfunksjonen. Kanskje en utfordring for guruene her?
3) Det er første gang jeg publiserer et innlegg med TeX! Jeg må si at jeg er litt stolt over meg selv. Men, jeg klarte ikke å finne ut hvor på tastaturet man finner denne: {} Noen som kan hjelpe?
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

Jeg er litt usikker på om man kan sette lit til den kalenderen. Jeg bladde tilfeldigvis opp på år 1700, og det ser ut som det er det de har brukt som utgangspunkt for overgangen fra den julianske til den gregorianske kalenderen. Jeg mener den fant sted en eller annen gang på 1500 tallet.

http://www.timeanddate.com/norsk/kalend ... ?year=1700

Uansett når jeg får tid så jeg legge fram algortimer for beregning av begge kalendere, samt beregning av påske.
Georgio
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 176
Registrert: 12/02-2006 03:00
Sted: ntnu

daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Flott 193. Hadde skuddårsreglene vært såpass enkle, hadde funksjonen stemt. Dessverre finnes det årstall funksjonen din ikke fungerer for. For år 3540 gir funksjonen din julaften på søndag, mens det rette skal være tirsdag. (Som det ser ut som funksjonen med korreksjonsleddet for de virkelige skuddårsreglene gir).

Funksjonene stemmer helt overens for alle n-verdier i visse intervaller, som vi kan se på plottet under. Plottet strekker seg fra år 2000 til år 2200

Bilde
193
Cayley
Cayley
Innlegg: 83
Registrert: 13/02-2006 14:47

Vel, min utfordring med å finne når julaften falt på en mandag sist, eller den 54. siste gangen julaften falt på en mandag (uten prøv og feil-metoden), står fortsatt ved lag. Det er sikkert en måte å gjøre det på, men da må man kanskje kombinere modulære ligninger og gulvfunksjonen der argumentet er ukjent? Jeg forventer ikke å få svar på dette, men det kunne jo vært morsomt å se om noen klarte å løse den.

PS: Jeg tror jeg fant ut hvor man finner parentesene {}, nemlig med Alt Gr + 7 og Alt Gr + 0. Det skulle vel stemme?
193
Cayley
Cayley
Innlegg: 83
Registrert: 13/02-2006 14:47

Hei, igjen. Jeg vil presisere hva det er jeg mener. Du skal finne ut (f.eks.) når julaften sist falt på en mandag, og den 10. siste gangen (siden den forenklede formelen kan gi feil svar for høyere tall) julaften falt på en mandag. Da har du kongruensligningen

[tex]8-n-\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\equiv1\pmod7\[/tex]

Ut fra denne ligningen har jeg

[tex]n+\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\equiv0\pmod7\[/tex],

men så kommer jeg ikke videre. Jeg aner ikke hvordan jeg skal forenkle uttrykket [tex]n+\lfloor\frac{n}{4}\rfloor[/tex] (hvis det er det jeg skal gjøre).

Her går det selvfølgelig an å "se" løsningen på når julaften sist falt på en mandag, og da ser man at 6 er en løsning. Det samme er 17, 23, 28, 34, 45, osv. Når man fortsetter, finner man ut at differansen mellom løsningene [tex]n[/tex] går i følgende syklus: 6, 11, 6, 5. Skal man da finne den 10. siste gangen mandag falt på en julaften, må man vel da finne løsningen på

[tex]10\equiv{k}\pmod4\[/tex], som er [tex]10\equiv2\pmod4\[/tex], og

[tex]\lfloor\frac{10}{4}\rfloor=\frac{10-2}{4}=2[/tex]

Da gjenstår bare følgende:

[tex]n_{10}=2*(6+11+6+5)+6+11=73[/tex]

[tex]J(y)=J(2007-73)=8-73-\lfloor\frac{73}{4}\rfloor\equiv1\pmod7\[/tex]

Altså er [tex]y=1934[/tex], og svaret blir at den 10. siste gangen julaften falt på en mandag, var i 1934. Jfr. denne lenken.

Men - det må da være en enklere måte å gjøre det på enn dette, er det noen som vet?
Svar