Oppgaver for videregående skole

[mrcreosote]

Her følger noen oppgaver som alle kan løses med vanlige teknikker man lærer i videregående skole eller bare enorme mengder griseregning. Ofte vil det imidlertid bli slitsomt å gjennomføre dette så alle har i tillegg (minst!) en annen løsning som er lettere og mer elegant; se om du kan finne denne!

1) Finn et enklere uttrykk for [tex]\frac{2008^2-2007^2}{2008+2007}[/tex].

2) Hvis x+y=2 og xy=3, hva er da [tex]\frac1x+\frac1y[/tex]?

3) For hvilke reelle x gjelder det at [tex]\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geq2[/tex]?

4) Polynomet [tex]P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5)^5[/tex] kan skrives som [tex]a_{20}x^{20}+a_{19}x^{19}+\dots+a_1x+a_0[/tex] der koeffisientene a er reelle tall.
Bestem [tex]a_0+a_1+a_2+\dots+a_{20}[/tex].
Hva med [tex]a_1+a_3+a_5+\dots+a_{19}[/tex]?
Enn [tex]a_0+a_3+a_6+\dots+a_{18}[/tex]?

5) Vis at [tex]\frac12\cdot\frac34\dots\frac{23}{24}<\frac15[/tex]

6) Det reelle polynomet [tex]Q(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex] er slik at Q(1)=1, Q(2)=2 og Q(3)=3. Bestem Q(4).

7) Vis at 9991 og 12317 ikke er primtall.

8) Sam & Ella triller terninger om penger. Reglene er at de kaster 3 terninger hver og den som får høyest sum vinner, hvis det blir likt triller de en gang til. Dette spillet spiller de hver dag med 1 krone per spiller i innsats. Hvis Sam vinner slutter de å spille, men hvis Ella vinner spiller de på nytt helt til Sam har vunnet en gang eller tapt 5 kroner. Hvem vil tjene hvor mye på dette spillet i lengden hvis de møtes på nytt hver dag og spiller? Hva hvis det ikke er en begrensning på Sams daglige tap?

[JonasBA]

1.

[tex]\frac{2008^2-2007^2}{2008+2007} = \frac{(2008 - 2007)\cancel{(2008+2007)}}{\cancel{(2008+2007)}} = 1[/tex]

2.

[tex]\frac1x+\frac1y = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y + x}{yx} = \frac23[/tex]

[Vektormannen]

3.

[tex]\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}} \geq 2[/tex]

[tex]x^2+2 \geq \sqrt{4x^2+4}[/tex]

[tex](x^2+2)^2 \geq 4x^2+4[/tex]

[tex]x^4+4x^2+4 \geq 4x^2+4[/tex]

[tex]x^4 \geq 0[/tex]

[tex]x \in \mathbb R[/tex]

Det gjelder altså for alle reelle x.

Men er litt usikker her ...

[Charlatan]

4) Polynomet [tex]P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5)^5[/tex] kan skrives som [tex]a_{20}x^{20}+a_{19}x^{19}+\dots+a_1x+a_0[/tex] der koeffisientene a er reelle tall.
Bestem [tex]a_0+a_1+a_2+\dots+a_{20}[/tex].
Hva med [tex]a_1+a_3+a_5+\dots+a_{19}[/tex]?
Enn [tex]a_0+a_3+a_6+\dots+a_{18}[/tex]?

1. Vi ser at vi oppnår denne summen som verdien av polynomet for x=1

[tex]P(1)= (1+1-6+5)^5=1[/tex]

2.
Vi vil kun ha [tex]a_k[/tex] hvor [tex]k[/tex] er odde. Vi kaller [tex]a_k[/tex] når [tex]k[/tex] er odde for "odde" koeffisienter, og [tex]a_k[/tex] når [tex]k [/tex]er par for "par" koeffisienter. Hvis x=-1, så vil alle de "odde" koeffisientene ha negativt fortegn, og de "par" koeffisientene ha positivt fortegn. [tex]-P(-1)[/tex] vil ha motsatt fortegn på alle koeffisientene. La oss addere dette med [tex]P(1)[/tex], da vil de "odde" koeffisientene kanselleres, og de "par" koeffisientene fordobles. Så summen av rekken blir [tex]\frac{P(1)-P(-1)}{2}=\frac{1-(1-1-6+5)^5}{2}=1[/tex]
3. Vi gjør likedan, men vil ikke ha med [tex]a_{20}[/tex]. Her adderer vi [tex]P(1)[/tex] med [tex]P(-1)[/tex] for å kansellere de "odde" koeffisientene, og fordoble de "par". Vi ser dessuten at [tex]a_{20}[/tex] er 1, siden [tex]a_{20}x^{20}=(x^4)^5[/tex]
Så summen blir [tex]\frac{P(1)+P(-1)}{2}-1=-1[/tex]

[mrcreosote]

1 og 2 - bra! De enkle løsningene.

3 holder som alle x - helt korrekt. Hint til en problemløserløsning: [tex]a+\frac1a\geq2[/tex] for alle positive a.

4: De 2 første deloppgavene stemmer, men les den tredje oppgava på nytt. Det er en litt mer kompleks oppgave enn de to første.

[Charlatan]

ahaaa, leste litt feil. Setter igang...

[Vektormannen]

6.

Håper ikke det gjør noe at jeg tar denne nå.

[tex]Q(x) = x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0[/tex]

Kaller [tex]a_2[/tex] for [tex]a[/tex], [tex]a_1[/tex] for [tex]b[/tex] og [tex]a_0[/tex] for [tex]c[/tex].

Vi vet følgende:

[tex]1 + a + b + c = 1[/tex]

[tex]8 + 4a + 2b + c = 2[/tex]

[tex]27 + 9a + 3b + c = 3[/tex]

Fra den første påstanden får vi at [tex]a = -b - c[/tex]. Vi lager et likningssett:

I) [tex]4(-b-c)+2b+c = -6[/tex]
[tex]-4b-4c+2b+c = -6[/tex]
[tex]2b+3c = 6[/tex]

II) [tex]9(-b-c)+3b+c = -24[/tex]
[tex]-9b-9c+3b+c = -24[/tex]
[tex]6b+8c = 24[/tex]

I) [tex]b = \frac{6-3c}{2}[/tex]

II) [tex]6\left(\frac{6-3c}{2}\right)+8c = 24[/tex]
[tex]18-9c+8c = 24[/tex]
[tex]c = -6[/tex]

I) [tex]b = \frac{6-3 \cdot (-6)}{2} = 12[/tex]

[tex]a = -b -c = -12 + 6 = -6[/tex]

Vi har altså: [tex]a_2 = -6, \ \ a_1 = 12, \ \ a_0 = -6[/tex]

[tex]Q(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6[/tex]

[tex]Q(1) = 1 - 6 + 12 - 6 = 1[/tex]

[tex]Q(2) = 8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 6 = 2[/tex]

[tex]Q(3) = 27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 6 = 3[/tex]

[tex]Q(4) = 64 - 6 \cdot 16 + 12 \cdot 4 - 6 = 10[/tex]

[daofeishi]

4) Polynomet [tex]P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5)^5[/tex] kan skrives som [tex]a_{20}x^{20}+a_{19}x^{19}+\dots+a_1x+a_0[/tex] der koeffisientene a er reelle tall.
...
Enn [tex]a_0+a_3+a_6+\dots+a_{18}[/tex]?

Jeg tillater meg å hinte om hvordan denne kan løses med komplekse tall:
La [tex]\zeta[/tex] være en primitiv tredjerot av enheten, slik at [tex]\zeta^3=1[/tex]. Vi kan f.eks. benytte [tex]\zeta = \frac{-1 + i \sqrt 3}{2}[/tex]. En egenskap ved en slik rot, er at [tex]\frac{1+\zeta^n + \zeta^{2n}}{3}[/tex] er 1 dersom 3 er faktor av n, og 0 ellers.

[mrcreosote]

Jeg ser hueregninga mi svikta litt da jeg skulle lage polynomet i oppgave 4, jeg ville vel egentlig hatt noe som [tex](x^4+2x^2+x-3)^5[/tex] som gjør det litt mer behagelig å regne til slutt. Men det er vel tanken som teller eller no' sånt.

6: Riktig det. Oppfølger: La [tex]R(x)=x^8+ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h[/tex] og R(n)=n for n=1,2,...,8. Bestem R(9). (Eventuelt kan du starte med et tilsvarende polynom av grad 2,4,5 osv og se om du ser et mønster.)

[Vektormannen]

Tenkte meg det var et mønster ja ... Prøver meg på den igjen senere.

[Charlatan]

4) Polynomet [tex]P(x)=(x^4+x^3-6x^2+5)^5[/tex] kan skrives som [tex]a_{20}x^{20}+a_{19}x^{19}+\dots+a_1x+a_0[/tex] der koeffisientene a er reelle tall.
...
Enn [tex]a_0+a_3+a_6+\dots+a_{18}[/tex]?

Jeg tillater meg å hinte om hvordan denne kan løses med komplekse tall:
La [tex]\zeta[/tex] være en primitiv tredjerot av enheten, slik at [tex]\zeta^3=1[/tex]. Vi kan f.eks. benytte [tex]\zeta = \frac{-1 + i \sqrt 3}{2}[/tex]. En egenskap ved en slik rot, er at [tex]\frac{1+\zeta^n + \zeta^{2n}}{3}[/tex] er 1 dersom 3 er faktor av n, og 0 ellers.

Sekundet etter jeg fikk vite at oppgaven var annerledes enn jeg hadde gjort, kortsluttet internett, siden da har jeg tenkt på muligheten ved å bruke komplekse tall.

Hvordan finner man sånne uttrykk som det der daofeishi?

[mrcreosote]

Bli kjent med enhetsrøtter, de er dine venner i mange problemløsningsoppgaver. Man benytter man seg av at [tex]\zeta_n = e^{\frac{2\pi i}n}[/tex] har en del egenskaper som er hyggelige. Her er et par du kan bevise, både med algebra og geometri:

[tex]\sum_{k=0}^{n-1} \zeta_n = 0[/tex] (Herav følger daofeishis siste formel.)

[tex]\prod_{k=0}^{n-1} (x-\zeta_n^k) = x^n-1[/tex]