Julenøttstafett

[sEirik]

Ta det med ro, det var bare et forsøk! Hvor mange tilfeller kjenner man vel ikke til i historien der matematikere går løs på problemer med feil teknikk og ikke kommer frem

[Charlatan]

Ta de to fyrstikkene som ligger på den korteste kateten nærmest den rette vinkelen, og flytt dem én enhet oppover. Deretter tar du den andre fyrstikkene som danner hjørnet på den rette vinkelen og "tetter igjen" hullet de to andre laget.

Arealet av 3-4-5 trekantene er 6. Når du har omgjort så fjerner du 2, altså du har 4 igjen. Siden 4/6 =2/3 har vi fjernet én tredjedel.

Ny oppgave (nr 26):
I en rettvinklet trekant er lengden av alle sidene positive heltall. Differansen mellom hypotenusen og én av katetene er 50. Hva er den minste mulige verdien av den andre kateten?

[JonasBA]

Jeg prøver å svare [tex]50[/tex].

Edit: Hihi, ser nå at svaret er riv ruskende galt. Klarte helt å ignorere 'heltall'.

[=)]

0?

[Charlatan]

Å vise utregning er påkrevd.

[Janhaa]

Å vise utregning er påkrevd.

er en av svarene over riktig?

[Charlatan]

Nei.

[Magnus]

[tex]a^2 + b^2 = h^2[/tex]

[tex]h-a = 50[/tex]

[tex]b^2 = h^2 -a^2 = (h-a)(h+a) = 50(h+a) = 5^2\cdot 2\cdot (h+a)[/tex]

[tex]h+a[/tex] må åpenbart være større enn 50, da

[tex]h+a=50 \Rightarrow h = 50 \Rightarrow a=0[/tex]

Dermed må [tex]h+a[/tex] være minste tall større enn 50 slik at tallet blir kvadrattall. Dette gir da [tex]h+a = 2^7 = 128[/tex] og

[tex]b^2 = 5^2\cdot 2^8 \Rightarrow b = 5\cdot 2^4 = 16\cdot 5 = \underline {80}[/tex]


27

Bestem grenseverdien uttrykt ved [tex]n[/tex]

[tex]\lim_{m\to\infty}\frac{1^n +2^n + \cdots + m^n}{m^{n+1}}[/tex] med [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]

[Charlatan]

Det er desverre ikke riktig...Det finnes en løsning slik at katetene er mindre.

[Magnus]

Bleeeh, ja..

La [tex](h+a) = 2\cdot 3^2\cdot 2^2 = 2\cdot 36 = 2\cdot 6^2[/tex]

Gir [tex]b = \sqrt{5^2\cdot 2^2\cdot 6^2} = 60[/tex]

Jeg fant vel nestminste..

[Charlatan]

Er svaret på oppgaven din 0? Siden man kan bruke lhopitals regel om få m i nevneren og konstant i telleren på alle leddene.

[Magnus]

Niks. L'Hopital fører nok ikke fram her.

[Knuta]

Ny oppgave (nr 26):
I en rettvinklet trekant er lengden av alle sidene positive heltall. Differansen mellom hypotenusen og én av katetene er 50. Hva er den minste mulige verdien av den andre kateten?

Jeg ser at denne er løst, men denne oppgaven gir en ligning med flere ukjente.

Vi starter med [tex]h^2 = a^2 + b^2 \ \ [/tex] og [tex]\ \ h = a + 50[/tex]

Disse kan vi sette sammen og fjerne [tex]h[/tex]

[tex]a^2 + b^2 = (a + 50)^2[/tex]

Vi løser denne ligningen med hensyn på [tex]\ a[/tex]

[tex]a = \frac{(b^2 -2500)}{100}[/tex]

For at [tex] a [/tex] skal være heltall er det åpenbart at [tex] b>50[/tex] og at [tex] 10[/tex] må kunne dele [tex] b[/tex]

deretter er det bare å regne ut [tex] a [/tex] og [tex]h[/tex]

Det er lett å se første at første løsning {b, a, h} = {60, 11, 51} og neste løsning er {70, 24, 74}

[mrcreosote]

27:
Ved for eksempel Faulhabers formel ser vi at teller (før vi tar grensa) er et polynom i m av grad n+1 med ledende koeffisient 1/(n+1); dette blir derfor også grenseverdien.

28 (Foran skjema!):
Vis at 1000729 ikke er prim.

[daofeishi]

Ser at vi kan skrive:
[tex]1000729 = 100^3 + 9^3 = (100 + 9)(100^2 - 100 \cdot 9 + 9^2)[/tex]

Siden 109 er en faktor, er ikke tallet primt.

Nøtt 29
Vis at for positive, reelle a og b, gjelder: [tex](a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4[/tex]


31 nøtter fram til nyttår blir vel nesten for enkelt nå?