Noen som har lyst til å prøve seg på denne:
y' + y = xcos(x)
Liten triviell diff.ligning..
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
(1/2)(x*cos(x) + (x-1)sin(x)) ser ut til å være en løsning, ihvertfall. Aldri løst diff.ligninger før (y er en funksjon av x, sant?), men prøvde meg med å multiplisere med e^x på begge sider og legge merke til at venstresiden da er lik (y*e^x)', for så å integrere for å finne funksjonen. Er det 'lov'?
EDIT: Ooog der postet daofeishi først, gitt.
EDIT: Ooog der postet daofeishi først, gitt.
Ja det er lov!
Det dao multipliserer begge sider med er integrerende faktor, I(x), som brukes for å løse inhomogene 1.ordens lineære diff.likninger.
Der den er gitt på formen [tex]y^\prime + P(x)\cdot y = Q(x)[/tex]
Da er [tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}\, , \ C=0[/tex]
Det dao multipliserer begge sider med er integrerende faktor, I(x), som brukes for å løse inhomogene 1.ordens lineære diff.likninger.
Der den er gitt på formen [tex]y^\prime + P(x)\cdot y = Q(x)[/tex]
Da er [tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}\, , \ C=0[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Det er riktig. Brukte du "intelligent tipping-metoden" på [symbol:integral](x*cos(x)*e^x) dx ? Hvis du prøver å løse den med delvis integrasjon så får du en god del mer arbeid..Karl_Erik skrev:(1/2)(x*cos(x) + (x-1)sin(x)) ser ut til å være en løsning, ihvertfall.
Noen som føler seg kallet til å løse y' - (tan(x) -1)y = x ved full utregning?
Skriv integralet som [tex]\int xe^x \cos(x) \rm{d}x = \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right)[/tex], så fikser det seg etter ikke alt for mye plunder.
På den andre benytter du deg også av en integrasjonsfaktor - Finn [tex]-\int (\tan(x) - 1) \rm{d}x[/tex]. Dette bør ikke by på for mange problemer. Gjør dette på egenhånd, og hvis du ikke får det til, prøv å spørre på universitetsforumet. Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
På den andre benytter du deg også av en integrasjonsfaktor - Finn [tex]-\int (\tan(x) - 1) \rm{d}x[/tex]. Dette bør ikke by på for mange problemer. Gjør dette på egenhånd, og hvis du ikke får det til, prøv å spørre på universitetsforumet. Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
Nøtteforumet skal ikke brukes til slike trivielle øvelsesoppgaver.
Tenkte bare at delvis integrasjon med flere enn 2 faktorer burde være en liten nøtt, ihvertfall endel regning. Det burde være en god oppgave for mange lesere her inne.Hva slags tegn er [tex]\Re \left [/tex] forresten?
Har vært innom dette forumet jevnlig det siste året uten å skrive noe selv, men tenkte nå å bidra litt. Forumet er veldig bra og det er en del meget dyktige mennesker her inne blant annet deg daofeishi. Det kunne imidlertid vært litt mer aktivitet her.
Ah, skjønner. Har opplevd før at folk misbruker dette forumet ved å presentere lekseoppgaver som "nøtter." Du har helt rett, dette er egentlig prima materiale for kunnskapstørste vgs-elever - men da er det kanskje lurt å introdusere integrasjonsfaktorer først?
[tex]\Re[/tex] markerer den reelle delen av et komplekst tall. Altså: [tex]\Re(a + bi) = a[/tex]. Ekvivalent for den imaginære delen er [tex]\Im(a + bi) = b[/tex] Siden [tex]e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)[/tex], er [tex]\Re(e^{ix}) = \cos(x)[/tex]. Det kan vises at [tex]\int \Re(F(x)) \rm{d}x = \Re \left( \int F(x) \rm{d}x \right)[/tex], som er resultatet benyttet over.
[tex]\Re[/tex] markerer den reelle delen av et komplekst tall. Altså: [tex]\Re(a + bi) = a[/tex]. Ekvivalent for den imaginære delen er [tex]\Im(a + bi) = b[/tex] Siden [tex]e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)[/tex], er [tex]\Re(e^{ix}) = \cos(x)[/tex]. Det kan vises at [tex]\int \Re(F(x)) \rm{d}x = \Re \left( \int F(x) \rm{d}x \right)[/tex], som er resultatet benyttet over.
OK, jeg kan ta å droppe diff.ligningen og gå rett på integrasjonen.daofeishi skrev:Du har helt rett, dette er egentlig prima materiale for kunnskapstørste vgs-elever - men da er det kanskje lurt å introdusere integrasjonsfaktorer først?
Så, noen som har lyst til å vise [symbol:integral] (xe^x*cos(x)) dx ved delvis integrasjon?
Ok, tar denne da. Jeg tar noen short cut underveis. Blant annet benytter jeg meg av formlene;
[tex]\int e^{ax}\cos(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\cos(bx)+b\sin(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(*)[/tex]
[tex]\int e^{ax}\sin(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(**)[/tex]
--------------------------------------------------------------
delvis integrasjon:
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x[\sin(x)+\cos(x)]{\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x\sin(x){\rm dx}\,-\,{1\over 2}\int e^x\cos(x) {\rm dx}[/tex]
her benytter jeg (*) og (**), såpass lat er jeg. vet at disse også kan vises ved integrasjon
[tex]I={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)-\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)+\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over 2}e^x[(x-1)\sin(x)\,+\,x\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]\int e^{ax}\cos(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\cos(bx)+b\sin(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(*)[/tex]
[tex]\int e^{ax}\sin(bx) {\rm dx}=\frac{e^{ax}[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}\,+\,C\;\;(**)[/tex]
--------------------------------------------------------------
delvis integrasjon:
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x[\sin(x)+\cos(x)]{\rm dx}[/tex]
[tex]I=\int x\cos(x)e^x{\rm dx}={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 2}\int e^x\sin(x){\rm dx}\,-\,{1\over 2}\int e^x\cos(x) {\rm dx}[/tex]
her benytter jeg (*) og (**), såpass lat er jeg. vet at disse også kan vises ved integrasjon
[tex]I={1\over 2}xe^x[\sin(x)+\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)-\cos(x)]\,-\,{1\over 4}e^x[\sin(x)+\cos(x)]\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over 2}e^x[(x-1)\sin(x)\,+\,x\cos(x)]\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Her er også et forslag:
[tex]\begin{align} \int xe^x \cos(x) \rm{d}x &= \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \int \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} \rm{d} x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \frac{e^{(1+i)x}}{(1+i)^2} + C_c \right) \\ &= \Re \left( \frac{1-i}{2}xe^xe^{ix} - \frac{(1-i)^2}{4} e^xe^{ix} + C_c \right) \\ &= e^x \left( \frac 1 2 x \cos(x) + \frac 1 2 x \sin(x) - \frac 1 2 \sin(x) \right) + C \\ &= \frac 1 2 e^x \left( x \cos(x) + (x-1) \sin(x) \right) + C \end{align}[/tex]
[tex]\begin{align} \int xe^x \cos(x) \rm{d}x &= \Re \left( \int xe^{(1+i)x} \rm{d}x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \int \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} \rm{d} x\right) \\ &= \Re \left( \frac{xe^{(1+i)x}}{1+i} - \frac{e^{(1+i)x}}{(1+i)^2} + C_c \right) \\ &= \Re \left( \frac{1-i}{2}xe^xe^{ix} - \frac{(1-i)^2}{4} e^xe^{ix} + C_c \right) \\ &= e^x \left( \frac 1 2 x \cos(x) + \frac 1 2 x \sin(x) - \frac 1 2 \sin(x) \right) + C \\ &= \frac 1 2 e^x \left( x \cos(x) + (x-1) \sin(x) \right) + C \end{align}[/tex]