matematikk.net

Finn det ubestemte integralet

[tex]I\,=\,\int \frac{2^x \cdot 3^x}{9^x-4^x}\,{\rm dx}[/tex]

Interessant sak. Slik løste jeg den (med forbehold om feil):

[tex]\int \frac{2^x 3^x}{9^x - 4 ^x} \rm{d}x = \int \frac{2^x 3^x}{3^{2x} - 2^{2x}} \rm{d}x = \frac 1 2 \int \left( \frac{2^x}{3^x - 2^x} + \frac{2^x}{3^x + 2^x} \right) \rm{d}x[/tex]

Her tar vi og plukker integralet fra hverandre
[tex]\int \frac{2^x}{3^x - 2^x} \rm{d}x = \int \frac{(\frac 2 3)^x}{1-(\frac 2 3)^x} \rm{d}x = -\frac{\ln (1 - (\frac 2 3)^x)}{\ln(\frac 2 3)} + C[/tex]

[tex]\int \frac{2^x}{3^x + 2^x} \rm{d}x = \int \frac{(\frac 2 3)^x}{1+(\frac 2 3)^x} \rm{d}x = \frac{\ln (1 + (\frac 2 3)^x)}{\ln(\frac 2 3)} + C[/tex]

Så trekker vi alt dette sammen:

[tex]\int \frac{2^x 3^x}{9^x - 4 ^x} \rm{d}x = \frac 1 2 \left(-\frac{\ln (1 - (\frac 2 3)^x)}{\ln(\frac 2 3)} + \frac{\ln (1 + (\frac 2 3)^x)}{\ln(\frac 2 3)} \right) = \frac{\ln \left( \frac{1 + (\frac 2 3)^x}{1 - (\frac 2 3)^x} \right) }{\ln(\frac 4 9)} + C= \frac{\ln \left( \frac{3^x + 2^x}{3^x-2^x} \right)}{\ln( \frac 4 9 )} + C[/tex]

daofeishi skrev:
[tex]\int \frac{2^x 3^x}{3^{2x} - 2^{2x}} \rm{d}x = \frac 1 2 \int \left( \frac{2^x}{3^x - 2^x} + \frac{2^x}{3^x + 2^x} \right) \rm{d}x[/tex]

Hva gjorde du her?

Delbrøkoppspalting. Hvis du setter høyresida på felles brøkstrek vil du se at du får nettopp venstresida, så det stemmer i alle fall. Du kan lese mer om delbrøkoppspalting i for eksempel Per.

mrcreosote skrev:Delbrøkoppspalting. Hvis du setter høyresida på felles brøkstrek vil du se at du får nettopp venstresida, så det stemmer i alle fall. Du kan lese mer om delbrøkoppspalting i for eksempel Per.

Okey. Men hva gjør jeg når det er "opphøyd i x"?

[tex]\frac{2^x 3^x}{3^{2x} - 2^{2x}} = \frac{A}{3^x+2^x} + \frac{B}{3^x-2^x}[/tex]

Dette blir vel ikke riktig!?

Nei, det blir ikke riktig det siden vi har med to variable (2^x og 3^x) å gjøre. Problemet kan imidlertidig omgås ved å dele på 2^(2x) og så innføre z=(3/2)^x slik at det er z/(z^2-1) som skal spaltes. Deretter kan du skrive deg tilbake.

Jeg ser ikke bort i fra at dao har en bedre på forklaring på hva han gjorde sjøl.

Smart!! Klarte det nå Takk for hjelpen!

En litt annen måte å gjøre denne på:

[tex] I = \int {\frac{{2^x 3^x }}{{9^x - 4^x }}dx} = \int {\frac{{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x }}{{1 - \left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x} }}dx} \\ u = \left( {\frac{2}{3}} \right)^x ,\frac{{du}}{{dx}} = \left( {\frac{2}{3}} \right)^x \ln \left( {\frac{2}{3}} \right) \\ I = \frac{1}{{\ln \left( {\frac{2}{3}} \right)}}\int {\frac{{du}}{{1 - u^2 }} = } \frac{1}{2}\frac{1}{{\ln \left( {\frac{2}{3}} \right)}}\left( {\ln \left( {1 + u} \right) - \ln \left( {1 - u} \right)} \right) + C \\ I = \frac{{\ln \left( {\frac{{3^x + 2^x }}{{3^x - 2^x }}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{4}{9}} \right)}} + C \\ [/tex]