matematikk.net

Anta at funksjonene f og g, begge fra reelle tall til reelle tall, tilfredsstiller
[tex]f(x+g(y))=2x+y+5[/tex]

Finn et uttrykk for [tex]g(x+f(y))[/tex]

Burde man prøve med y=0?

Det vil saa absolutt gi nyttig informasjon om hva slags funksjon f er, ja

Ikke akkurat mitt verk, men etter mye klabb og babb:

[tex]f(x+g(0))=2x+5[/tex]

La oss så kalle [tex]x=z-g(0)[/tex] og vi får:

[tex]f(x+g(0))=f(z-g(0)+g(0))=f(z)=2(z-g(0))+5[/tex]

For å dermed rydde det opp til:

[tex]f(z)=2(z-g(0))+5[/tex]

[tex]f(x)=2(x-g(0))+5[/tex]

Og vi er vel langt på vei?

Her er mye nyttig informasjon. Hva vet du nå om f? Hvordan kan dette benyttes til å finne g?

Vi ser da at f er lineær, og kan definere konstantleddet som k:

[tex]f(x)=2(x-g(0))+5=2x+k[/tex]

For å finne mer ut av g, kan vi nå prøve x=0 i f:

[tex]f(g(y))=y+5[/tex]

Videre ser vi vel at g(y) kan finnes ved hjelp av inversen til f(x), som vi kan kalle i(x):

[tex]f(ix)=2i(x)+k=x[/tex]
[tex]i(x)=\frac{x-k}{2}=\frac{x-5+2g(0)}{2}[/tex]

Bra så langt?

Se over notasjonen litt, ser ut til at det har sneket seg inn et par feil. Ellers har du rett i at funksjonen f er invertibel, og du har funnet inversen - nå får du vise hvordan dette kan brukes til å finne g og løse oppgaven.

En liten digresjon, inversen til f, dersom f er invertibel, noteres gjerne [tex]f^{-1}(x)[/tex]

Hmm ja, nest siste linje der skal man have:

[tex]f(i(x)=2i(x)+k=x[/tex]

Tilbake til f, har vi da:

[tex]f(g(y))=y+5[/tex]

[tex]i(f(g(y)))=\frac{y+5-5+2g(0)}{2}=\frac{y+2g(0)}{2}\\[/tex]

[tex]g(y)=\frac{y+2g(0)}{2}[/tex]

[tex]g(x)=\frac{x+2g(0)}{2}[/tex]

Dermed trenger vi bare å definere [tex]g(x+f(y)[/tex]:

[tex]f(y)=2y-2g(0)+5[/tex]

[tex]g(x+f(y)=\frac{x+2y-2g(0)+2g(0)+5}{2}=\frac{x+2y+5}{2}[/tex]

Ferdig, og mange beklagelser for den rotete notasjon!

Stemmer!