Det blir nok litt feil.
1-tan^2(x) [symbol:ikke_lik] 1/cos^2(x)
1+tan^2(x) =1/cos^2(x)
Nattintegral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja, så det nå. Jeg har regnet på (1/1+tan[sup]2[/sup] x), noe som blir litt annerledes. Boff.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
prøver meg på denne:daofeishi skrev:Inspirert av Cambridge-oppgaven - Finn:
[tex]I=\int \sqrt[3]{\tan(x)} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=\sqrt[3]{\tan(x)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,u^3=\tan(x)\,\,\, \,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=\arctan(u^3)[/tex]
[tex]{\rm dx}=\frac{3u^2}{1+u^6}\,{\rm du}[/tex]
som gir:
[tex]I=3\int \frac{u^3}{1+u^6}\,{\rm du}=3\int \frac{A}{u^2+1}{\rm du}\,+\,3\int \frac{B}{u^2+u\cdot \sqrt3+1}{\rm du}\,+\,3\int \frac{C}{u^2-u\cdot \sqrt3 +1}{\rm du}[/tex]
delbrøksoppspalting gir A=0,[tex]\,\,B=\frac{1}{\sqrt3 +1}\,\,og\,\,C=\frac{1}{\sqrt3 -1}[/tex]
altså:
[tex]I_1=\frac{3}{\sqrt3 + 1} \int\frac{{\rm du}}{u^2+u\cdot \sqrt3+1}=\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2u + \sqrt3)+C_1[/tex]
[tex]I_1=\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} + \sqrt3)+C_1[/tex]
[tex]I_2=\frac{3}{\sqrt3 - 1} \int\frac{{\rm du}}{u^2-u\cdot \sqrt3+1}=\frac{6}{\sqrt3 - 1}\arctan(2\cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} - \sqrt3)+C_2[/tex]
-----------------------------------------------
[tex]I\,=\,\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} + \sqrt3)\,+ \, \frac{6}{\sqrt3 - 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} - \sqrt3)+C [/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Er delbrøksoppspaltingen rett her? Når jeg prøver å slå sammen de to brøkene, får jeg:
[tex]\frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{1}{{u^2 + u\sqrt 3 + 1}} +\frac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\frac{1}{{u^2 - u\sqrt 3 + 1}}={\frac {\sqrt {3} \left( {u}^{2}+1+u \right) }{{u}^{4}-{u}^{2}+1}}[/tex].
[tex]\frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{1}{{u^2 + u\sqrt 3 + 1}} +\frac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\frac{1}{{u^2 - u\sqrt 3 + 1}}={\frac {\sqrt {3} \left( {u}^{2}+1+u \right) }{{u}^{4}-{u}^{2}+1}}[/tex].
Ser ut som du har rett. Ett eller anna har skjedd, orker rett og slett ikkeTrulsBR skrev:Er delbrøksoppspaltingen rett her? Når jeg prøver å slå sammen de to brøkene, får jeg:
[tex]\frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{1}{{u^2 + u\sqrt 3 + 1}} +\frac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\frac{1}{{u^2 - u\sqrt 3 + 1}}={\frac {\sqrt {3} \left( {u}^{2}+1+u \right) }{{u}^{4}-{u}^{2}+1}}[/tex].
gå gjennom dette engang til...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Hvis du delbrøksoppspalter, og har annengradsuttrykk i nevneren, må du ha tellere på formen [tex]Ax+B[/tex].
Vdr. [tex]\,\,\,I=\int \sqrt[3]{\tan(x)}\,{\rm dx}[/tex]
substitusjon ga dette:
[tex]I=3\int \frac{u^3}{u^6+1}\,{\rm du}=\int \frac{3u^3}{(u^2+1)(u^2-sqrt{3}u+1)(u^2+\sqrt{3}u +1)}\,{\rm du}[/tex]
delbrøksoppspalting:
[tex]I=\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2-sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,+\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2+sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,-\,\int \frac{u}{u^2+1}\,{\rm du}[/tex]
jeg hopper over mye nå, og substituerer inn for [tex]\,\,\,u=\sqrt[3]{\tan(x)}\,\,\,[/tex]igjen.
[tex]I=-\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)}}{2\sqrt{3}})\,-\,\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}})\,+\,{1\over 4}\ln(-{1\over 4}(\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)})^2-{1\over 4})\,+\,{1\over 4}\ln((2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3})^2+1)\,-\,{1\over 2}\ln((\tan(x))^{2\over 3}+1)\,+\,C[/tex]
så kan noen derivere og sjekke med integranden da...
substitusjon ga dette:
[tex]I=3\int \frac{u^3}{u^6+1}\,{\rm du}=\int \frac{3u^3}{(u^2+1)(u^2-sqrt{3}u+1)(u^2+\sqrt{3}u +1)}\,{\rm du}[/tex]
delbrøksoppspalting:
[tex]I=\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2-sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,+\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2+sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,-\,\int \frac{u}{u^2+1}\,{\rm du}[/tex]
jeg hopper over mye nå, og substituerer inn for [tex]\,\,\,u=\sqrt[3]{\tan(x)}\,\,\,[/tex]igjen.
[tex]I=-\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)}}{2\sqrt{3}})\,-\,\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}})\,+\,{1\over 4}\ln(-{1\over 4}(\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)})^2-{1\over 4})\,+\,{1\over 4}\ln((2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3})^2+1)\,-\,{1\over 2}\ln((\tan(x))^{2\over 3}+1)\,+\,C[/tex]
så kan noen derivere og sjekke med integranden da...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Vi kan jo også generalisere:
[tex]I_n=\int\sqrt[n]{\tan x} \rm{d}x[/tex],
og få:
[tex]I_n=n\int \frac{u^n}{1+u^{2n}}\rm{d}u[/tex].
Dette virker imidlertid ikke være løselig i form av elementære funksjoner, noen som kan bekrefte/avkrefte?
Edit: Endret variabelnavn.
[tex]I_n=\int\sqrt[n]{\tan x} \rm{d}x[/tex],
og få:
[tex]I_n=n\int \frac{u^n}{1+u^{2n}}\rm{d}u[/tex].
Dette virker imidlertid ikke være løselig i form av elementære funksjoner, noen som kan bekrefte/avkrefte?
Edit: Endret variabelnavn.
Sist redigert av TrulsBR den 05/05-2008 00:18, redigert 1 gang totalt.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Blir litt kluss med variablene der.TrulsBR skrev:Vi kan jo også generalisere:
[tex]I_n=\int\sqrt[n]{\tan x} \rm{d}x[/tex],
og få:
[tex]I_n=n\int \frac{x^n}{1+x^{2n}}\rm{d}x[/tex].
Dette virker imidlertid ikke være løselig i form av elementære funksjoner, noen som kan bekrefte/avkrefte?
Du tenker på å finne integralet som en funksjon av n (og x)?; det blir nok vanskelig, ja. Men for hvert valg av en hel n vil integranden ha en "pen" antiderivert.
Så dette integralet løst for en stund siden. Så ikke så lett ut, for å si det sånn.
[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}} \rm{d}x[/tex]
[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}} \rm{d}x[/tex]
[tex]I=\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x[/tex]
[tex]I= \frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}+\frac{1}{4} \int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}}\rm{d}x[/tex]
[tex]u=x^3-1[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=3x^2[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{x^2}{(u)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3x^2} \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \rm{d}x[/tex]
[tex]I_2=\frac{1}{3}\int \frac{1}{(u)^{\frac{3}{2}}} \rm{d}u=-\frac{2}{3\sqrt{u}}+C=-\frac{2}{3\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
[tex]I=\frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}-\frac{1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
[tex]I=\frac{3x^2-1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
[tex]I= \frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}+\frac{1}{4} \int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}}\rm{d}x[/tex]
[tex]u=x^3-1[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=3x^2[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{x^2}{(u)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3x^2} \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \rm{d}x[/tex]
[tex]I_2=\frac{1}{3}\int \frac{1}{(u)^{\frac{3}{2}}} \rm{d}u=-\frac{2}{3\sqrt{u}}+C=-\frac{2}{3\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
[tex]I=\frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}-\frac{1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
[tex]I=\frac{3x^2-1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det skal være x^4 i nevneren i det andre integralet, og da faller den enkle substitusjonen i neste steg gjennom.
I løsningen jeg så for litt siden var det mange komplekse tall.