Sum 1

[nybegynner]

[tex]\lim_{k\to\infty}\left\[\frac{\sqrt {k+1}+\sqrt {k+2}+\sqrt {k+3}+...+ \sqrt {2k-1}}{k^{\frac {3}{2}}}\right\][/tex]

[zell]

Kan det være så enkelt som dette:

[tex]\lim_{k\rightarrow \infty} \ \frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}+\sqrt{k+3}+\cdots +\sqrt{2k-1}}{\sqrt{k^3}[/tex]

[tex]\lim_{k\rightarrow \infty} \ \sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^3}}+\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}}+\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{3}{k^3}}+\cdots +\sqrt{\frac{2}{k^2}-\frac{1}{k^3}} \ \rightarrow 0[/tex]

[mrcreosote]

Mener du også at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\dots+1}n = \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac1n+\dots+\frac1n)=0[/tex]?

[tex]\sqrt{k+1}+\dots+\sqrt{2k-1}\ge(k-1)\sqrt{k+1}[/tex], så grenseverdien bør nå minst være 1. Du finner ei øvre grense for den på samme måte.

[Bogfjellmo]

Hører rykter om at Riemann var glad i slike summer...

btw, nybegynner = Abdul?

[mrcreosote]

Innimellom er altså rykter sanne...

Abdul er vel ingen nybegynner?

[Magnus]

Tja, han er i hvert fall "mathn00b".

[nybegynner]

Har det noen betydning hvem jeg er?
Er kun ute etter å dele kule oppgaver med folk.
Abdul er brukeren euklid, forresten..

[Bogfjellmo]

Ok, syntes bare jeg kjente igjen noen av oppgavene du har lagt ut fra oppgaver som Ble presentert under KoMiN, og syntes å huske at det var Abdul som hadde dem. Anonymitet på nettet er vel greit nok det.

[daofeishi]

Prøver meg på denne, jeg da.

Vi skriver rekken slik:
[tex]S = \lim _{k \to \infty} \sum _{i=1} ^{k-1} \frac{\sqrt{k+i}}{k^{\frac 3 2}} = \lim _{k \to \infty} \frac 1 k \sum _{i=1} ^{k-1} \sqrt{1+\frac i k}[/tex]

Vi gjenkjenner dette som Riemannsummen til et greit integral:

[tex]S = \int _1 ^2 \sqrt{x} \rm{d}x = \frac{2}{3} \left( \sqrt 8 - 1 \right)[/tex]

[nybegynner]

Riktig, daofeishi