Sum 2

[nybegynner]

[tex]\;\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac {1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac {1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{24}+\frac{1}{27}+\frac{1}{32}+...[/tex]

[=)]

konvergerer den?

edit: Tydeligvis =P

[daofeishi]

Hvis jeg ikke er for langt ute på jordet:

Ved inspeksjon ser det ut som at vi søker
[tex]S = \sum _{m,n \geq 1} \frac{1}{2^m 3^n}[/tex]
Der m og n er heltall, ikke begge lik 0.

Vi deler da summen opp slik:
[tex]S + 1 = \left( \sum _{n = 0} ^\infty \frac{1}{2^n} \right) + \frac{1}{3}\left( \sum _{n = 0} ^\infty \frac{1}{2^n} \right) + \frac{1}{3^2}\left( \sum _{n = 0} ^\infty \frac{1}{2^n} \right) + ... \\ = 2 + \frac 1 3 (2) + \frac{1}{3^2}(2) + ... \\ = 2 \sum _{n=0} ^\infty \frac{1}{3^n} \\ = 2(\frac 3 2)= 3[/tex]

Dette gir [tex]S = 2[/tex]


Edit: Skulle vel kanskje tatt med noen betraktninger om seriens konvergens, men jeg tar for gitt at originalspørsmålet forutsetter at den konvergerer

[nybegynner]

Riktig igjen, daofeishi .

[mrcreosote]

Denne ligner litt:

La [tex]C=\{m^n|m,n=2,3,\dots\}[/tex] og finn [tex]\sum_{c\in C} \frac1{c-1}[/tex].