En fin liten nøtt:
Gitt et regulært n-gon innskrevet i enhetssirkelen, finn produktet av lengdene til diagonalene fra ett hjørne til alle andre.
Produkt av diagonaler
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
At det er innskrevet i en sirkel betyr at alle hjørnene ligger på sirkelbua.
Jeg gjør et forsøk. Jeg har begrenset erfaring med analyse og komplekse tall, så jeg håper dette blir gyldig.
Vi vet at n'terøttene til enheten former et regulært n-gon i argandplanet. På grunn av symmetrien til et slikt polygon, tar vi for oss avstanden fra z=1 til de andre enhetsrøttene.
La [tex]\zeta _n = e^{\frac{2 \pi i}{n}}[/tex]
Vi ønsker å finne
[tex]P(n) = \left| \prod _{k=1} ^{n-1} \left(1- \zeta _n ^k \right) \right|[/tex]
Vi vet så at [tex]x^n-1 = (x - \zeta _n)(x-\zeta _n ^2)...(x-\zeta _n ^{n-1})(x-1)[/tex]
Dermed har vi at
[tex]P(n) = \left| \lim _{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x-1}\right| = n[/tex]
Vi vet at n'terøttene til enheten former et regulært n-gon i argandplanet. På grunn av symmetrien til et slikt polygon, tar vi for oss avstanden fra z=1 til de andre enhetsrøttene.
La [tex]\zeta _n = e^{\frac{2 \pi i}{n}}[/tex]
Vi ønsker å finne
[tex]P(n) = \left| \prod _{k=1} ^{n-1} \left(1- \zeta _n ^k \right) \right|[/tex]
Vi vet så at [tex]x^n-1 = (x - \zeta _n)(x-\zeta _n ^2)...(x-\zeta _n ^{n-1})(x-1)[/tex]
Dermed har vi at
[tex]P(n) = \left| \lim _{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x-1}\right| = n[/tex]