Produkt 1
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
nybegynner
- Noether
- Innlegg: 37
- Registrert: 21/01-2008 17:50
[tex]\prod_ {k=2}^{\infty}\:\frac{k^3\:-\:1}{k^3\:+\:1}[/tex]
[tex]\prod ^{n}_{k=2} \frac{k^3-1}{k^3+1}=\prod ^{n}_{k=2} \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{k^3+1}=\frac{1}{9}[\prod ^{n-1}_{k=2} \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)^3+1} ]\cdot (n-1)(n^2+n+1)[/tex] (setter ut første nevner og siste teller)
[tex]=\frac{1}{9}[\prod ^{n-1}_{k=2} \frac{k-1}{k+2} ]\cdot (n-1)(n^2+n+1)[/tex] (enkel polynomdivisjon)
Ved den teleskoperende effekten i produktsummen [tex]P=\prod ^{n-1}_{k=2} \frac{(k-1)}{(k+2)}[/tex], påstår vi at [tex]P=\frac{6}{(n-1)(n)(n+1)}[/tex] som verifiseres enkelt med en induksjon.
Dermed:
[tex]\prod ^{n}_{k=2} \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{2}{3} \times \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n-1)(n)(n+1)}=\frac{2}{3} \times \frac{n^2+n+1}{n^2+n}[/tex]
Når vi lar n gå mot uendelig, og siden koeffisientene i leddene med de høyeste eksponentene i teller og nevner er 1, er grenseverdien til produkstummen [tex]\frac{2}{3}[/tex].
[tex]=\frac{1}{9}[\prod ^{n-1}_{k=2} \frac{k-1}{k+2} ]\cdot (n-1)(n^2+n+1)[/tex] (enkel polynomdivisjon)
Ved den teleskoperende effekten i produktsummen [tex]P=\prod ^{n-1}_{k=2} \frac{(k-1)}{(k+2)}[/tex], påstår vi at [tex]P=\frac{6}{(n-1)(n)(n+1)}[/tex] som verifiseres enkelt med en induksjon.
Dermed:
[tex]\prod ^{n}_{k=2} \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{2}{3} \times \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n-1)(n)(n+1)}=\frac{2}{3} \times \frac{n^2+n+1}{n^2+n}[/tex]
Når vi lar n gå mot uendelig, og siden koeffisientene i leddene med de høyeste eksponentene i teller og nevner er 1, er grenseverdien til produkstummen [tex]\frac{2}{3}[/tex].