Primsirkel

Charlatan · 09/03-2008 16:00

Er det mulig å plassere 1995 forskjellige naturlige tall rundt en sirkel slik at for ethvert par av disse er forholdet mellom det største og det minste et primtall?

Løsning:
Anta at det er slik.
Vi ser på de tre minste tallene [tex]k_1, k_2,[/tex] og [tex]k_3[/tex]. Hvis vi velger ut paret [tex](k_1,k_2)[/tex], må forholdet mellom dem være et primtall. Da er [tex]k_1/k_2=a[/tex], a er et primtall. Men likeledes er [tex]k_3/k_2=b[/tex], b er et primtall. [tex]\Rightarrow k_3=bk_2 \Rightarrow k_3=abk_1[/tex]. Hvis vi velger paret [tex](k_1,k_3)[/tex], så må [tex]k_3/k_1[/tex] være et primtall. Men [tex]k_3/k_1=k_1ab/k_1=ab,[/tex] hvor a og b er primtall, [tex]\Rightarrow ab[/tex] er sammensatt og vi har oppnådd en motsigelse.
'
Denne løsningen virket for enkel, er den gyldig? Har jeg oversett noe?

JonasBA · 09/03-2008 16:10

Par og sirkel får meg til å tro at det er snakk om forholdet mellom 1. og 2. nabotall i sirkelen. Da kan du plutselig ikke se på forholdet mellom [tex]k_1[/tex] og [tex]k_3[/tex] lenger.

daofeishi · 09/03-2008 16:27

Jeg har samme innvending som Jonas. Jeg regner med det er to nabotall i sirkelen som menes (hvorfor ellers plassere tallene i en sirkel?)

Charlatan · 09/03-2008 16:45

Akkurat det med par er oversettelse fra min side. Ordleggingen i oppgaven var " Is it possible to place 1995 different natural numbers along a circle so that for any two of these numbers, the ratio of the greatest to the least is a prime"

Jeg tenkte også på hva sirkelens betydning var.

"...any two of these numbers..", tror dere de mener nabotall, eller ikke?

Zivert · 09/03-2008 16:48

Det hadde helt klart vært mulig om det hadde vært et partallig antall tall på sirkelen...

Zivert · 09/03-2008 16:50

Jeg tror nok de mener nabotall, ellers er den jo superlett

daofeishi · 09/03-2008 16:57

Arbeider du deg gjennom Paul Zeitz' bok, Jarle? Der er oppgaven på side 56. Hintet bak i boka peker på at det er nabotall som er ment

Zivert · 09/03-2008 16:58

Jo! Fordi antallet primtallsfaktorer endres med [tex]1 mod(2)[/tex] kan ikke det stemme med et odde antall tall rundt sirkelen!!

Charlatan · 09/03-2008 22:30

daofeishi skrev:Arbeider du deg gjennom Paul Zeitz' bok, Jarle? Der er oppgaven på side 56. Hintet bak i boka peker på at det er nabotall som er ment

jepp, og jeg la merke til den abstrakte algebra oppgaven din i boka rett etter jeg postet en løsning. (den står rett over denne oppgaven)

Jepp, fin løsning zivert