matematikk.net

Anta at [tex]p_j \geq 0[/tex] for alle j = 1, 2, ..., n og at [tex]p_1 + p_2 + ... + p_2 = 1[/tex]. Vis at dersom [tex]a_j[/tex] og [tex]b_j[/tex] er ikke-negative reelle tall som tilfredsstiller begrensningen [tex]1 \leq a_j b_j[/tex] for alle j = 1, 2, ..., n, så gjelder følgende ulikhet:

[tex]1 \leq \left{ \sum _{j = 1}^n p_j a_j \right} \left{ \sum _{j=1}^n p_j b_j \right}[/tex]

Ved Cauchy-Schwartz ulikheten har du at:
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j a_j \right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j \right} \geq \left{\sum_{j=1}^n (\sqrt {p_j a_j} \cdot \sqrt {p_j b_j} ) \right }^2= \left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2[/tex]
[tex]1 \leq a_j b_j[/tex] er ekvivialent med [tex]1 \leq \sqrt{a_j b_j}[/tex] da [tex]a_j , b_j \geq 0[/tex]
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2 \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j \right}^2=1[/tex]
Dette burde vel stemme...

Stemmer!

ett ord..: ugh.

Oppfølger: La [tex]m = a_1 < a_2 < ... < a_n = M[/tex] og [tex]a_jb_j = 1[/tex]

Vis at

[tex]\left{ \sum _{j=1}^n p_j a_j \right} \left{ \sum _{j=1} ^n p_jb_j \right} \leq \frac{\mu^2}{\gamma^2}[/tex]

der [tex]\mu = \frac{m + M}{2}[/tex] og [tex]\gamma = \sqrt{m M}[/tex] (som man kan kjenne igjen som det aritmetiske og geometriske snitt, respektivt.)

Chebyshev og QM-AM duger også:

[tex]\sum p_ja_j\cdot\sum p_jb_j\ge\sum p_ja_j\cdot\sum p_j\cdot\frac1{a_j}\ge n\sum p_j^2\ge (\sum p_j)^2 = 1[/tex]

Daofeishi kan du vær så snill å legge ut løsningen på oppfølgeren? Kom et godt stykke (tror jeg), men så stoppet det helt opp...
Veldig fin oppgave forresten... så det er fryktelig irriterende å ikke få den til!

Så irriterende kan det ikke ha vært om du gir opp etter 3 dager?

Oj så hva jeg gjorde feil! Mener å ha løst oppgaven. Skal legge ut løsningen min så snart som mulig. (rekker det nok ikke i dag...)

EDIT: Tror desverre løsningen min ikke var helt riktig alikevel

Snubla over nok et bevis på den første mens jeg forsøkte meg på den andre.

Hvis [tex]a_j b_j \geq 1[/tex], har vi jo.

[tex]\displaystyle \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j\right} \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right} \left{\sum_{j=1}^n p_j \frac {1}{a_j}\right} = AM\cdot HM^{-1} \geq GM \cdot GM^{-1} = 1[/tex]

Syntes den var ganske fin.

På den andre kommer jeg dessverre ikke helt i mål.

Du mener veid AM, GM og HM ikke sant?