Side 1 av 1
Hard nøtt
Lagt inn: 20/03-2008 16:16
av Zivert
Her kommer en påskenøtt som er hard for de fleste...
[tex]x, y, z \geq 0[/tex] og [tex]x+y+x=3[/tex]
Vis at da stemmer:
[tex]x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4[/tex]
Lagt inn: 20/03-2008 17:43
av mrcreosote
Rett nok en kjedelig løsning, men det holder å erstatte z med 3-x-y i funksjonen som skal minimeres, derivere og sjekke randa og se at minimumet 4 er der x=y=z=1.
Lagt inn: 23/03-2008 17:05
av Ice
Finnes det en annen måte med algebraisk manipulasjon å løse denne på.
Sivert er jo kjent for å bruke Jensen's uansett hvor lett ulikheten er
Lagt inn: 23/03-2008 17:35
av Zivert
Jo takk
Om man bruker Jensens her tror jeg det blir vanskelig. Når man bruker jensens er det som regel slik at man kan manipulere ulikheten til at den ene siden kan uttrykkes som:[tex]f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)[/tex] og den andre som en konstant, (her var [tex]x_i[/tex] variablene i funksjonen. Jensens er spesielt effektiv om man vet om denne funksjonen er konveks/ konkav i et gitt intervall og om man vet summen av [tex]x_i[/tex])
PS: for de som lurer på hva Jensens ulikhet går ut er det bare å google
Joda jeg har en annen løsning som stortsett er basert på AM-GM (og med litt kunnskaper om symmetriske funksjoner)
(Hadde vært kjekt med en spoilerfunksjon her på forumet, legger snart ut løsningen min... kan skrive den i hvitt og i liten skriftstørrelse)
Lagt inn: 23/03-2008 18:14
av Zivert
Ok her kommer løsningen min:
[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2(xy+yz+zx)[/tex]
Derfor er ulikheten ekvivialent med:
[tex]5 \geq 2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Av AM-GM har vi at:
[tex]1= (\frac{(2-x)+(2-y)+(2-z)}{3})^3 \geq (2-x)(2-y)(2-z)= 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz[/tex]
Dette gir den ønskede ulikheten. [/color]