matematikk.net

Tre punkter [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] plasseres på grensen til en sirkel. Punktene kobles sammen til trekanten [tex]\triangle ABC[/tex] med linjene [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] slik at hvert punkt får en vinkel [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] og [tex]\gamma[/tex]. Hvert av punktene [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] kan flyttes rundt på sirkelskiven, men kun rundt grensen.

Hvilke vinkler må trekanten [tex]\triangle ABC[/tex] ha for å dekke et så stort areal i sirkelen som mulig?

60 grader på hver vinkel?

Ja, det stemmer. Kan du begrunne svaret ditt?

Vet ikke helt om jeg kan forklare det.

Jeg tenkte at siden vinkelsummen i en trekant er 180 grader, så må hver vinkel være 60 grader for å få trekanten til å strekke seg over så mye flate som mulig, hvis du skjønner.
Det er helt sikkert en matematisk forklaring på det, men den må du nok spørre noen andre etter

Er ikke dette en oppgave i geometri fra VG1 (evt VG2)?

Det er en blanding av geometri og derivasjon. Det kalles optimering. Det er VG1 materiale.

Og jeg begynner ikke på 1. VG før til neste år Har lest litt om derivasjoner, men har ikke prøvd å sette meg ordentlig inn i det... Så jeg kan vel så og si null om det, så langt

Man kan også løse denne oppgaven med Jensens ulikhet

Virkelig? Hvordan da?

Zivert skrev:Man kan også løse denne oppgaven med Jensens ulikhet

hehe

Om [tex]O[/tex] er sentrum i sirkelen og [tex]R[/tex] er radiusen, har du at arealet av trekanten kan utrykkes som:
[tex]\frac{1}{2} R^2 (sin(\angle AOB)+ sin(\angle BOC)+ sin(\angle COA))[/tex]
Du kan bruke Jensens ulikhet til å vise at trekantens areal maksimeres når [tex]\angle AOB= \angle BOC= \angle COA=120^o[/tex] (du ser på [tex]f(x)=sin x[/tex] som er en konkav fuksjon i [0, 180]). Dette er ekvivialent med at du har en likesidet trekant.

Dette stemmer ihvertfall når [tex]\angle AOB, \angle BOC, \angle COA <180^o [/tex]