Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Om du klarer å løse noen av oppgavene, vær så snill å poste svaret ditt, slik at vi får lagt det til listen.
Liste over løste oppgaver: Si ifra om noen svar er gale. The Dice Roll:
a:[tex]\frac{21875}{46656}[/tex]
b:[tex]\frac{31031}{46656}[/tex] The Square Crossover
a:
b: 1) [tex]\frac{1}{8}[/tex] 2) 3) The Infinity Thing
a:
b: The Enveloping Lines
a:
b: 1) 2) The Ant Walk Enveloping Lines: The Revenge
a:
b: The Zig-zagger
a:
b: The Cricket Pitch
a:
b: The Mega-Sphere
a: [tex]x=50,y=43.30125,z=81.64966[/tex]
b: [tex]123[/tex]
c: The Curvy Rebound
a:
b: The Starry Rebound
a:
b:
c: Mega-sphere: The Revenge
a:
b:
c: The Snooker Table of Doom
a:
b:
c:
d:
Sist redigert av espen180 den 07/04-2008 21:54, redigert 3 ganger totalt.
Småstygge. For sirkelen på Square Crossover blir svaret 1/8, den var lett pga symmetrien. (Hint: Det siste punktet må treffe mellom "motpolene" til de to første.)
Tror jeg har en angrepsmåte på resten av de (to-dimensjonale) delene av Square Crossover, men det blir stygt. Ellers er jeg ganske blank.
Den er grei. Klarer du oppgave c også, så er vi ferdige med The Mega-Sphere?
Same as above, except that the spheres are stretched in width by double - to produce an elongated sphere or 'ellipsoid'. What is the theoretical maximum amount of ellipsoids that can be crammed into the mega-sphere?
Forresten; betyr "theoretical maximum" at vi skal regne ut vilkårlig tetthet?
Tror ikke du skal være så rask med at det er 123 uansett. Circle packing leste jeg litt om en gang i tiden da jeg ble utfordret til å finne maksimal radius på 10 sirkler (alle med samme radius) som skal puttes inn i et kvadrat med lengder a.
Det jeg mente var at svaret i alle fall ikke var større enn 123. 123 er et "upper bound". Men ikke nødvendigvis least upper bound.
Jeg vet at for generelle forhold mellom stor og liten radius, dvs. det som her er 5.5, er svaret åpent. Tror ikke helt at de som har skrevet nøttene har løst dem alle selv.
Bogfjellmo skrev:Det jeg mente var at svaret i alle fall ikke var større enn 123. 123 er et "upper bound". Men ikke nødvendigvis least upper bound.
Jeg vet at for generelle forhold mellom stor og liten radius, dvs. det som her er 5.5, er svaret åpent. Tror ikke helt at de som har skrevet nøttene har løst dem alle selv.
Har sett litt på første del av "infinity thing," men her har en av to skjedd: Det har sneket seg inn en feil i beviset, eller det er en feil i excel-scriptet jeg brukte for å sjekke svaret. Kanskje noen kan oppklare dette? Jeg har stirret meg blind.
La H være utfallet krone (head), og T utfallet mynt (tail). Vi vil først telle antallet sekvenser S[sub]n[/sub] av lengde n i utfallsrommet.
S[sub]2[/sub]= 0, siden det bare er en sekvens av lengde 2: HH. S[sub]4[/sub]=2, siden det finnes to sekvenser av lengde 4 i utfallsrommet: TTHH og HTHH.
Vi teller delsekvenser først - vi tar for oss antall sekvenser som starter med H, H[sub]n[/sub] og antall sekvenser som starter med T, T[sub]n[/sub]. Vi ser at en sekvens lengre enn 2 som starter med H kan skapes fra en kortere sekvens som starter med T (sekvensen kan ikke starte med 2 H'er). En sekvens som starter med T kan skapes av en kortere sekvens som starter enten med H eller T. Vi får følgende rekursjon:
Vi ser at dette kan skrives om som H[sub]n+2[/sub] = H[sub]n+1[/sub] + H[sub]n[/sub], som vha initialbetingelser gir at H[sub]n[/sub] = F[sub]n-3[/sub] (Der F er Fibonaccitallene) og T[sub]n[/sub] = F[sub]n-2[/sub].
Siden S[sub]n[/sub] = H[sub]n[/sub] + T[sub]n[/sub], og ved å se på n = 2 separat, får vi at S[sub]n[/sub] = F[sub]n-1[/sub]
VI får dermed at sannsynligheten for en streng av en gitt lengde er gitt ved [tex]p(n) = \frac{F_{n-1}}{2^n}[/tex]
Vi benytter så at den genererende funksjonen for Fibonaccitallene er [tex]F(x) = F_1 x + F_2x^2 + F_3x^3 + ... = \frac{x}{1-x-x^2}[/tex], og dermed er den genererende funksjonen for S[sub]n[/sub] [tex]S(x) = F_1 x^2 + F_2x^3 + F_3x^4 + ... = \frac{x^2}{1-x-x^2}[/tex]
(Vi Kan også bekrefte at [tex]\sum _{n \geq 2} p(n) = S(\frac 1 2) = 1[/tex])
Vi ønsker nå E(S), som er gitt ved [tex]\sum _{n \geq 2} n p(n) = \left[x \frac{\rm{d}}{\rm{d}x}S(x) \right] _{x=\frac 1 2} = 6[/tex]
... Men excel hevder noe i nærheten av 4. Hvori ligger feilen, skal tro?
Hm, greit, da har vi vel klart denne - Som en kuriositet har man og standardavviket [tex]\sqrt{E(S^2)-E(S)^2} = \sqrt{\left[ \left( x \frac{\rm{d}}{\rm{d}x} \right)^2 S(x) \right]_{x=\frac 1 2} -6^2} = \sqrt{22}[/tex]
(Lar Mathematica ta seg av utregningene. Har du veldig lyst til å derivere, så sett igang.)
