Mange av dere har sikkert sett denne før, men oppgaven er vel artig for noken.
Hvilket tall er størst av [tex]e^\pi[/tex] og [tex]\pi^e[/tex]?
Hvilken er størst?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Alt som kan løses med kalkulator, kan også løses uten.
Hvis man antar at
[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]
tar ln på begge sider:
[tex]\ln(e)^{\pi}\,\g \,\ln(\pi)^e[/tex]
[tex]\pi \ln(e)\, \g \, e \ln(\pi)[/tex]
og skriver deretter
[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]
skriver nå høyre sida som [tex]\;\;f=\frac{x}{\ln(x)}[/tex]
deriverer nå f og finner min, dvs
[tex]f^,=\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}\,=\,0[/tex]
ln(x) = 1 og x = e
Siden [symbol:pi] > e vil
[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]
og
[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]
holder dette...?
[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]
tar ln på begge sider:
[tex]\ln(e)^{\pi}\,\g \,\ln(\pi)^e[/tex]
[tex]\pi \ln(e)\, \g \, e \ln(\pi)[/tex]
og skriver deretter
[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]
skriver nå høyre sida som [tex]\;\;f=\frac{x}{\ln(x)}[/tex]
deriverer nå f og finner min, dvs
[tex]f^,=\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}\,=\,0[/tex]
ln(x) = 1 og x = e
Siden [symbol:pi] > e vil
[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]
og
[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]
holder dette...?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Den er god, den. Merk at det ikke er nødvendig at [tex]x >e[/tex], bare at [tex]x \neq e[/tex].
For alle [tex]x \geq 0[/tex] holder
[tex]e^x \geq x^e[/tex]
med likhet hvis og bare hvis x=e.
EDIT: trenger vel et ekstra bevis for [tex]0\leq x \leq 1[/tex], men det er bare å finne minimumen for [tex]x-e\cdot \ln{x}[/tex]
For alle [tex]x \geq 0[/tex] holder
[tex]e^x \geq x^e[/tex]
med likhet hvis og bare hvis x=e.
EDIT: trenger vel et ekstra bevis for [tex]0\leq x \leq 1[/tex], men det er bare å finne minimumen for [tex]x-e\cdot \ln{x}[/tex]