Hvilken er størst?

[Magnus]

Mange av dere har sikkert sett denne før, men oppgaven er vel artig for noken.

Hvilket tall er størst av [tex]e^\pi[/tex] og [tex]\pi^e[/tex]?

[espen180]

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

[espen180]

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

[mrcreosote]

Alt som kan løses med kalkulator, kan også løses uten.

[sEirik]

Er man inne på noe hvis man bruker 2 < e < 3 < pi < 4 (eller trenger man en mer nøyaktig ulikhet) og så litt triksing med logaritmer?

[Janhaa]

Hvis man antar at

[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]

tar ln på begge sider:

[tex]\ln(e)^{\pi}\,\g \,\ln(\pi)^e[/tex]

[tex]\pi \ln(e)\, \g \, e \ln(\pi)[/tex]

og skriver deretter

[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]

skriver nå høyre sida som [tex]\;\;f=\frac{x}{\ln(x)}[/tex]

deriverer nå f og finner min, dvs

[tex]f^,=\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}\,=\,0[/tex]

ln(x) = 1 og x = e
Siden [symbol:pi] > e vil

[tex]e\,<\,\frac{\pi}{\ln(\pi)}[/tex]

og

[tex]e^{\pi} \, \g \, \pi^e[/tex]

holder dette...?

[Bogfjellmo]

Den er god, den. Merk at det ikke er nødvendig at [tex]x >e[/tex], bare at [tex]x \neq e[/tex].

For alle [tex]x \geq 0[/tex] holder

[tex]e^x \geq x^e[/tex]

med likhet hvis og bare hvis x=e.

EDIT: trenger vel et ekstra bevis for [tex]0\leq x \leq 1[/tex], men det er bare å finne minimumen for [tex]x-e\cdot \ln{x}[/tex]