Rasjonale tall som en sum
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vis at ethvert positivt rasjonalt tall kan skrives som en endelig sum av forskjellige elementer fra mengden {1/1,1/2,1/3,...}.
Er det veldig enkelt eller har jeg misforstått?
Mengden består av av alle [tex]\{\frac{1}{n}:\ n \in {\mathbb N}\}[/tex].
Så hvis man skal skrive [tex]\frac{m}{n}[/tex] er det bare å legge sammen [tex]\frac{1}{n}[/tex] m ganger.
Mengden består av av alle [tex]\{\frac{1}{n}:\ n \in {\mathbb N}\}[/tex].
Så hvis man skal skrive [tex]\frac{m}{n}[/tex] er det bare å legge sammen [tex]\frac{1}{n}[/tex] m ganger.
Har jo tenkt litt på denne..
[tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}[/tex]
Skriver man en brøk som en sum av to slike ledd så får man jo ab i nevner, og hvis nevner i brøken man skal komme frem til er et primtall, så er det jo umulig å faktorisere den til ab. Derfor må man kunne dele oppe og nede med samme heltall slik at nevneren tilsvarer nevneren i den opprinnelige brøken... og med flere ledd får man abc og abcd osv. i nevner. Er jeg inne på noe nå?
[tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}[/tex]
Skriver man en brøk som en sum av to slike ledd så får man jo ab i nevner, og hvis nevner i brøken man skal komme frem til er et primtall, så er det jo umulig å faktorisere den til ab. Derfor må man kunne dele oppe og nede med samme heltall slik at nevneren tilsvarer nevneren i den opprinnelige brøken... og med flere ledd får man abc og abcd osv. i nevner. Er jeg inne på noe nå?
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Mulig du er inne på noe, men trur ikke du skal prøve å finne noe generelt eksplisitt uttrykk her om det er det du prøver på. Det kan imidlertid lønne seg å beskrive en algoritme som vil løse problemet.
Har gjort meg noen raske tanker for mulig fremgangsmåte, men orker ikke føre dette ordentlig ned. De som er veldig interessert kan se om det fungerer, og de har sett beviset kan jo si ifra om noe er veldig galt.
1) Hvis først at det stemmer for positive rasjonale tall mellom 0 og 1. Gjør det etter flg.oppskrift.
a) Velg [tex]n[/tex] s.a. [tex]\frac{1}{n}\leq\frac{a}{b}<\frac{1}{n+1}[/tex] hvor [tex]\frac{a}{b}[/tex] er brøken du vil utrykke som sum. Fra dette får man ett par ulikheter.
b)Se på resten [tex]\frac{a}{b}-\frac{1}{n}[/tex]....hva gjelder for denne?
Fra disse punktene skal de gå an å vise at slike brøker kan skrives som nevnte endelige summer. Du kan tilogmed finne hvor mange ledd som høyst trengs. (Tror jeg
)
2) Se så på generellt resjonallt tal. Vi vet at den harmoniske rekken er ubegrenset, så vi gjør et lignende argument (med noen tillegg dere kan finne ut av) på delsummer av den.
1) Hvis først at det stemmer for positive rasjonale tall mellom 0 og 1. Gjør det etter flg.oppskrift.
a) Velg [tex]n[/tex] s.a. [tex]\frac{1}{n}\leq\frac{a}{b}<\frac{1}{n+1}[/tex] hvor [tex]\frac{a}{b}[/tex] er brøken du vil utrykke som sum. Fra dette får man ett par ulikheter.
b)Se på resten [tex]\frac{a}{b}-\frac{1}{n}[/tex]....hva gjelder for denne?
Fra disse punktene skal de gå an å vise at slike brøker kan skrives som nevnte endelige summer. Du kan tilogmed finne hvor mange ledd som høyst trengs. (Tror jeg
)2) Se så på generellt resjonallt tal. Vi vet at den harmoniske rekken er ubegrenset, så vi gjør et lignende argument (med noen tillegg dere kan finne ut av) på delsummer av den.