Periodisk + periodisk = identiteten?

[mrcreosote]

Fins det periodiske funksjoner f og g fra de reelle talla og inn i seg sjøl som er slik at f(x)+g(x)=x for alle reelle x?

[=)]

xsin^2(x) og xcos^2(x) ? eller mener du periodisk som at det er faste "mellomrom"?

edit: så på definisjonen til periodisk og jeg tror ikke de funksjonene passer inn.

[mrcreosote]

Med periodisk menes at det fins en p så f(x+p)=f(x) for alle x. (Den minste slike p kalles perioden.)

Edit: Da er vi enige!

[daofeishi]

Nei, og det er vel mulig å vise ved å skrive om funksjonallikningen som f(x) = x-g(x) - der venstresiden er en periodisk funksjon, og høyresiden er summen av en periodisk og aperiodisk funksjon, og dermed ikke er periodisk.

[mrcreosote]

Hvorfor kan ikke summen av en periodisk og en ikke-periodisk funksjon være periodisk?

[Charlatan]

bare glem det.

[sEirik]

Anta at høyresiden også er periodisk...

Det må finnes en periode d>0 slik at

[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]

[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]

[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]

Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.


Ble det riktig?

[Charlatan]

et lignende beviset gjelder for alle ikke-perdiodiske funksjoner, men jeg fant ut i stad at det man beviser er at denne nye funksjonen ikke har samme periode som den man har i utgangspunktet. Beviset sier ikke at perioden ikke kan være en annen.

(altså: hvis g(x) har periode d, må ikke nødvendigvis g(x)+m(x) har periode d hvis g(x)+m(x) er periodisk (hvor m(x) er en ikke-periodisk funksjon), så beviset holder ikke helt ut)

Kan også snekre et bevis som sier at en funksjon med en rasjonal periode + en ikke-periodisk funksjon ikke kan være en funksjon med rasjonal periode. Det blir verre med irrasjonale perioder (fordi ingen heltall kan ganges med perioden for å få et helt tall)

[Bogfjellmo]

Anta at høyresiden også er periodisk...

Det må finnes en periode d>0 slik at

[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]

[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]

[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]

Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.


Ble det riktig?

Det er ingen grunn til å anta at f og g har samme periode, som du har gjort her.

Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.

[Charlatan]

Vil det være tilsvarende med dette argumentet?

La a og b være relle tall. Da kan vi få differansen [tex]|n \cdot a-k \cdot b|[/tex], hvor n og k er heltall, til å bli vilkårlig liten ved å velge høye nok heltall.

Det blir vel som å si at brøken m/n kan lages vilkårlig lik ethvert irrasjonalt tall ved å velge n og m høye nok.

I så fall kan man lage et bevis for dette her for alle perioder.

[Magnus]

Observerer at forholdet mellom periodene kan ikke være rasjonalt. .. Og etter å ha sett litt mer på oppgaven vil jeg bli rimelig forbauset hvis dette eksisterer, men, men.. Når vi har bump function har man vel det meste..

[mrcreosote]

Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.

Det må du gjerne anta. Og jeg forventer vel ikke akkurat et eksplisitt funksjonsuttrykk, nei.