matematikk.net

Fins det periodiske funksjoner f og g fra de reelle talla og inn i seg sjøl som er slik at f(x)+g(x)=x for alle reelle x?

xsin^2(x) og xcos^2(x) ? eller mener du periodisk som at det er faste "mellomrom"?

edit: så på definisjonen til periodisk og jeg tror ikke de funksjonene passer inn.

Med periodisk menes at det fins en p så f(x+p)=f(x) for alle x. (Den minste slike p kalles perioden.)

Edit: Da er vi enige!

Nei, og det er vel mulig å vise ved å skrive om funksjonallikningen som f(x) = x-g(x) - der venstresiden er en periodisk funksjon, og høyresiden er summen av en periodisk og aperiodisk funksjon, og dermed ikke er periodisk.

Hvorfor kan ikke summen av en periodisk og en ikke-periodisk funksjon være periodisk?

bare glem det.

Anta at høyresiden også er periodisk...

Det må finnes en periode d>0 slik at

[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]

[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]

[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]

Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.


Ble det riktig?

et lignende beviset gjelder for alle ikke-perdiodiske funksjoner, men jeg fant ut i stad at det man beviser er at denne nye funksjonen ikke har samme periode som den man har i utgangspunktet. Beviset sier ikke at perioden ikke kan være en annen.

(altså: hvis g(x) har periode d, må ikke nødvendigvis g(x)+m(x) har periode d hvis g(x)+m(x) er periodisk (hvor m(x) er en ikke-periodisk funksjon), så beviset holder ikke helt ut)

Kan også snekre et bevis som sier at en funksjon med en rasjonal periode + en ikke-periodisk funksjon ikke kan være en funksjon med rasjonal periode. Det blir verre med irrasjonale perioder (fordi ingen heltall kan ganges med perioden for å få et helt tall)

sEirik skrev:Anta at høyresiden også er periodisk...

Det må finnes en periode d>0 slik at

[tex](x+d) - g(x+d) = x - g(x)[/tex]

[tex]d - g(x+d) = -g(x)[/tex]

[tex]g(x+d) - g(x) = d[/tex]

Men hvis g(x) er periodisk med periode d så må [tex]g(x+d) = g(x)[/tex] og da vil den siste likninga gi at d = 0, en selvmotsigelse.


Ble det riktig?

Det er ingen grunn til å anta at f og g har samme periode, som du har gjort her.

Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.

Vil det være tilsvarende med dette argumentet?

La a og b være relle tall. Da kan vi få differansen [tex]|n \cdot a-k \cdot b|[/tex], hvor n og k er heltall, til å bli vilkårlig liten ved å velge høye nok heltall.

Det blir vel som å si at brøken m/n kan lages vilkårlig lik ethvert irrasjonalt tall ved å velge n og m høye nok.

I så fall kan man lage et bevis for dette her for alle perioder.

Observerer at forholdet mellom periodene kan ikke være rasjonalt. .. Og etter å ha sett litt mer på oppgaven vil jeg bli rimelig forbauset hvis dette eksisterer, men, men.. Når vi har bump function har man vel det meste..

Bogfjellmo skrev:Vedr. oppgaven: antar vi utvalgsaksiomet (aka Axiom of Choice)? Mener jeg har et ikke-konstruktivt bevis for at dette er mulig, men det bruker utvalgsaksiomet.

Det må du gjerne anta. Og jeg forventer vel ikke akkurat et eksplisitt funksjonsuttrykk, nei.