Sum av heltall og inverser

[mrcreosote]

Finn alle positive heltall n,a_1,...a_n så [tex]\sum_{i=1}^n a_i =5n-4[/tex] og [tex]\sum_{i=1}^n \frac1{a_i} =1[/tex].

(Dette er en fin måte å bli kjent med Cauchy-Schwarz eller Chebyshev.)

[daofeishi]

Gitt kriteriene, er den eneste muligheten for at [tex] a_i = \frac{1}{a_i}[/tex] for alle i når i = 1 og a = 1.

Vi anvender så Cauchy-Schwartz:
[tex] \left( \sum _{i=1}^n \sqrt{a_i} \frac{1}{\sqrt{a_i}} \right)^2 < \left( \sum _{i=1} ^n a_i \right) \left( \sum _{i=1} ^n \frac{1}{a_i}\right) \\ n^2 < 5n-4 \\ (n-1)(n-4)<0 \\ 1 < n < 4[/tex]

Vi legger merke til at gitt en løsning [tex](a_1, a_2, ...)[/tex], kan vi konstruere en ekvivalent løsning ved å permutere [tex]a_i[/tex]. Jeg presenterer dermed alle ikke-ekvivalente løsninger som ordnede ikke-synkende n-tupler.

Vi ser at n=2 gir [tex]a_1 + a_2 = 6[/tex]
[tex]\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{a_1 + a_2}{a_1a_2} = 1[/tex] gir at [tex]a_1 a_2 = 6[/tex], og ved å undersøke alle muligheter eksisterer ikke en løsning for n=2.

Vi undersøker så manuelt mulighetene for n=3 - (2, 2, 7) (2, 3, 6) (2, 4, 5) (3, 3, 5) (3, 4, 4)
Og ser at eneste løsning er (2, 3, 6)


Altså er de eneste mulighetene (1), og (2, 3, 6)

[mrcreosote]

Nesten riktig. Men likhet i CS fordrer bare at de 2 vektorene du sammenligner er like opptil en konstant, så du får ikke med eventuelle løsninger for n=4. (4,4,4,4) er en slik, trur det er en til også.

[Bogfjellmo]

Er bare en løsning for n=4:

Gå tilbake til de første ligningene med n=4

[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^4 a_i = 16 = 4^2[/tex]

[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^4 \frac 1a_i = 1[/tex]

eller ekvivalent:

[tex]\frac{\small\sum_{i=1}^4 a_i}{\normal 4} = 4 = \frac {4}{\small \sum_{i=1}^4\frac 1a_i}[/tex]

aritmetisk middel er lik harmonisk middel, som bare skjer når alle [tex]a_i[/tex] er like.

[mrcreosote]

Da huska jeg feil, stemmer fint det du skriver.

[daofeishi]

likhet i CS fordrer bare at de 2 vektorene du sammenligner er like opptil en konstant

Huff og huff... Selvfølgelig.