Jeg tenker meg at denne muligens er kjent pga sin enkelthet (jeg må også si at jeg har ikke løst oppgaven).
finn alle [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] slik at;
[tex]f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)[/tex]
Jeg har funnet to trivielle løsninger (to konstante f). Men lurer på om det er flere?
Funksjonallikning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg loeste den slik:
Skriv om likningen
[tex]f(x+y) = [f(x)+1][f(y)+1]-1[/tex]
Innfoer saa funksjonen [tex]g(x) = f(x)+1[/tex]
Da blir likningen over
[tex]g(x+y) = g(x)g(y)[/tex]
Dette er Cauchys eksponentielle funksjonallikning, og det er kjent at loesningen paa denne er [tex]g(x) = a^x[/tex], gitt kontinuitet eller bundethet. (Hvis vi ikke antar dette kan eksistensen av andre loesninger paavises vha utvalgsaksiomet, men aa konstruere dem eksplisitt er verre.)
Dette gir oss at [tex]f(x) = a^x - 1[/tex], og dette kan lett sjekkes aa stemme.
Skriv om likningen
[tex]f(x+y) = [f(x)+1][f(y)+1]-1[/tex]
Innfoer saa funksjonen [tex]g(x) = f(x)+1[/tex]
Da blir likningen over
[tex]g(x+y) = g(x)g(y)[/tex]
Dette er Cauchys eksponentielle funksjonallikning, og det er kjent at loesningen paa denne er [tex]g(x) = a^x[/tex], gitt kontinuitet eller bundethet. (Hvis vi ikke antar dette kan eksistensen av andre loesninger paavises vha utvalgsaksiomet, men aa konstruere dem eksplisitt er verre.)
Dette gir oss at [tex]f(x) = a^x - 1[/tex], og dette kan lett sjekkes aa stemme.