MIT skrev:Using standard properties of the cosine function explain why the formula
[tex]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}cos(nx)[/tex]
defines a continously differentiable function on the real line.
Cosinus
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Fant denne på sidene til MIT, synes den var fin:
cos bidrar max 1 og minimum -1, derfor vil f(x) konvergere hvis [tex]\zeta(3)[/tex] gjør det, som er tilfellet.
(altså [tex]\frac{\cos(nx)}{n^3} \leq \frac{1}{n^3}[/tex])
siden cosinus er continuerlig på R så er f også det.
hvis vi deriverer f(x) får vi [tex]-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n x)}{n^2}[/tex] der igjen summanden bare kan være mindre eller lik 1/n[sup]2[/sup] slik at summen konvergerer hvis [tex]\zeta(2)[/tex] gjør det, som igjen er tilfellet.
ser du på reell analyse espen?
edit: det kan være "dodgy" argumentasjon her, hvis noen av de mer erfarne her ser en åpenbar feil si ifra er du snill.
(altså [tex]\frac{\cos(nx)}{n^3} \leq \frac{1}{n^3}[/tex])
siden cosinus er continuerlig på R så er f også det.
hvis vi deriverer f(x) får vi [tex]-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n x)}{n^2}[/tex] der igjen summanden bare kan være mindre eller lik 1/n[sup]2[/sup] slik at summen konvergerer hvis [tex]\zeta(2)[/tex] gjør det, som igjen er tilfellet.
ser du på reell analyse espen?
edit: det kan være "dodgy" argumentasjon her, hvis noen av de mer erfarne her ser en åpenbar feil si ifra er du snill.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Det ser da bra ut det, eller? Jeg kom også fram til at den konvergerende rekken og cos max/min var grunnen, men jeg var usikker på hvordan jeg skulle derivere rekken, så jeg kunne ikke vise det. Dessuten hadde Riemann-rekken en reell verdi, noen som har mye å si (ikke sant?).
Ser på og ser på... Liker å kose meg med litt mer avansert matte når jeg ikke har andre overhengende skolesaker på gang.=) skrev:Ser du på reell analyse espen?
å derivere en rekke er jo å derivere en sum av funksjoner, altså du må bare derivere summanden og beholde grenser, (husk å deriver mht variabelen!).
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Ja, ser det nå. Og hvis man setter -1 foran [tex]\Sigma[/tex] så går det visst.
Joda.
[tex]\left(\frac{cos(nx)}{n^3}\right)^\prime=\frac1{n^3}\left(cos(nx)\right)^\prime \\ (cos(nx))^\prime=-n\cdot sin(nx) \\ \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}cos(nx)\right)^\prime=\sum_{n=1}^{\infty}-1\cdot\frac{\cancel{n}\cdot sin(nx)}{n^{\cancel{3}}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n^2}[/tex]
Ble litt klønete, men resultate ble da riktig?
[tex]\left(\frac{cos(nx)}{n^3}\right)^\prime=\frac1{n^3}\left(cos(nx)\right)^\prime \\ (cos(nx))^\prime=-n\cdot sin(nx) \\ \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}cos(nx)\right)^\prime=\sum_{n=1}^{\infty}-1\cdot\frac{\cancel{n}\cdot sin(nx)}{n^{\cancel{3}}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n^2}[/tex]
Ble litt klønete, men resultate ble da riktig?
Det stemmer jo med regelen [tex](a+b+c)^\prime=(a)^\prime+(b)^\prime+(c)^\prime[/tex]sEirik skrev:Har man uten videre lov til å derivere en uendelig sum da? Leddvis?
Ser det der ut som en uendelig sum, espen?espen180 skrev:Det stemmer jo med regelen [tex](a+b+c)^\prime=(a)^\prime+(b)^\prime+(c)^\prime[/tex]sEirik skrev:Har man uten videre lov til å derivere en uendelig sum da? Leddvis?
Er noen krav som må tilfredstilles sEirik, deriblant konvergens.
hvis leddene separat er deriverbare og summen konvergent er det bare å kverne summen gjennom definisjonen til den deriverte hvis man er i tvil.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Weierstrass-funksjonen er jo et fancy eksempel.
[tex]f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos (b^n \pi x)[/tex]
Rekka konvergerer. Men hvis man deriverer leddvis:
[tex]f^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty -\pi (ab)^n\sin (b^n \pi x)[/tex]
Aner ikke hva det der blir til.
Men poenget er jo at f(x) ikke er deriverbar i noen punkter. Så derivering av uendelige summer er vel litt avansert..
[tex]f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos (b^n \pi x)[/tex]
Rekka konvergerer. Men hvis man deriverer leddvis:
[tex]f^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty -\pi (ab)^n\sin (b^n \pi x)[/tex]
Aner ikke hva det der blir til.
Men poenget er jo at f(x) ikke er deriverbar i noen punkter. Så derivering av uendelige summer er vel litt avansert..