De tre dørene

[Gommle]

Her er en nøtt jeg har lest før, og mattelæreren forklarte den for litt siden, men jeg forstår den fremdeles ikke.

Tenk deg et tv-program, der du skal velge en av tre dører. Bak to av dem står det geiter, og bak en av dem står det en Mercedes.

Du velger en dør (Uten å åpne den)
Programlederen åpner en av dørene med en geit bak, og spør om du heller vil åpne den andre uåpnede luken istedenfor den første du valgte.

Her kommer det jeg ikke skjønner:
Han mener at det er 2/3 sannsynlighet for at bilen er i den andre luken, og 1/3 sannsynlighet for at den er i den du valgte først. Min fornuft sier at det blir 1/2 sjanse. Kan noen forklare dette så enkelt som mulig?

Kanskje jeg lager et lite skript for å teste dette med eksperimentell sannsynlighet.

Og bare pek meg i riktig retning hvis dette er tatt opp før her.

Edit: Skulle du sett... Google fu! http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

[Olorin]

Nettopp derfor jeg synes sannsynlighet er begredelig

[Dinithion]

Hehe, jeg skjønte ikke den jeg heller før. Jeg så den først på forumet her, men nektet å godta svaret. Det endte opp med ett par timer med googling, lesing og tenking. Et sted ute på den store veven så jeg at noen hadde forklarte det på en veldig illustrativ måte.

Det som gjør dette eksperimentet så "vanskelig" er (ironisk nok) at det er så få valg. Hvis vi heller sier at gamehosten holder en kortstokk foran deg, og du skal trekke spar ess. Da er sjansen for å trikke riktig kort 1/52. Hvis vi nå sier at han fjerner "den siste luken" (Les: alle kort minus ett (Enten spar ess, eller ett random), dvs 50 kort. Så er scenarioet det samme, men med andre sannsynligheter.

Da har du 1/52 sjanse for å ha spar ess, mens gamehosten har 51/52 sjans for å ha ess. Han fjerner alle minus spar ess (Som det er 51/52 sjans for at han har). Ville du da beholdt det usselige kortet ditt?

Og jeg kunne ikke vært mer enig med Olorin.

[TrulsBR]

Det viktige her er å poengtere at du vet at "programlederen" fjerner dører eller kort som ikke er det du vil ha.

[Charlatan]

Ja, det er ofte at man staterer denne oppgaven feil, med å unnlate å si at gameshowhosten KUN åpner en dør som har en geit bak seg, og ikke en tilfeldig dør.

La oss si du velger en dør hvor det er en geit bak seg, da vil gameshowhosten i alle tilfeller fjerne den andre døren med en geit bak seg. Siden det er 2/3 sannsynlighet for å velge en geit, er det i 2/3 av tilfellene lurest å bytte dør.

[Gommle]

Her er slik jeg skjønte det:

Dør 1 = Bil
Dør 2 = Geit
Dør 3 = Geit

Du velger dør 1
Programlederen åpner en dør med en geit bak
Du bytter og åpner den andre døren med en geit bak

Du velger dør 2
Programlederen åpner en dør med en geit bak
Du bytter og åpner døren med en bil bak

Du velger dør 3
Programlederen åpner en dør med en geit bak
Du bytter og åpner døren med en bil bak

Altså vinner du i 2 av 3 tilfeller

[Stone]

DU kan også tenke slik.. Når du valgte første gangen, så hadde du 1/3 sjangse til å ha rett dør.
Når hosten fjerna en geit, så er det fortsatt 1/3 sjangs på den døra du har valgt, og den andre vil da ha 2/3.

[MatteNoob]

Jeg vil våge å påstå at i dette tilfellet, har du [tex]\frac 12[/tex] sjans til å velge geita eller bilen uansett hva du gjør.

Du vet nemlig på forhånd at verten vil åpne ei dør med geit bak, etter at du har valgt din dør. Da vil jeg si at du kan betinge med det!

[tex]P(Bil|Geit) = \frac 12[/tex]


Edit:

Gommle, jeg tenkte godt gjennom ressonementet ditt, og jeg tror faktisk du har rett. Det lønner seg å bytte dør.

[Tore Tangens]

Det er rett og slett 1/3 sjangse for at bilen er bak døren du gjetta på.
Da er det 2/3 sjangse for at bilen er bak en av de to andre.
Når verten åpner en dør der han vet det er en gjeit blant disse to, blir den 2/3 sjangsen værende igjen i den resterende uåpnede døren. Derfor bytte dør.

[Nukleon]

Problemet med tankemåten om at du har større sjangs for å treffe bilen hvis du bytter dør stemmer ikke helt med min virkelighetsfølelse.
Når du først velger deg en dør har du 1/3 sjangs for å holde på den riktige døren. Når deretter en dør med geit innforbi blir åpnet står du igjen med den døren du valgte, en dør du vet er geit i og en ukjent dør. Hvis du betrakter dette som et nytt forsøk vil du ha 1/2 sjangs for å treffe den riktige døren med bil innforbi uansett om du bytter dør eller ikke.

Dette er egentlig et klassisk eksempel fra Amerikansk TV som var en del diskutert i mattekretser. Det er rett og slett 50% sjangs for at du vinner i dette spillet uansett hvordan du snur og vender på det på grunn av at du har først 1/3 sjangs. Deretter har du et valg mellom to dører og dette er jo som kjent en 1/2 sjangs. Dette kan dere prøve empirisk en kveld dere har god tid.

[Charlatan]

Det er nok ikke riktig.

Først er det 2 geiter og 1 bil, så det er klart 1/3 sjans for å velge bilen.

Nå fjerner verten én dør hvor det er en geit bak. Nå er det én dør med en geit bak, og én dør hvor det er en bil bak.

Siden du velger en bil kun i 1/3 av tilfellene, vil du velge en geit i 2/3 av tilfellene. Altså, i 1/3 av tilfellene vil det lønne seg å ikke bytte, og i 2/3 av tilfellene vil det lønne seg å bytte.

Dette er forresten godt forklart flere ganger i denne tråden, og jeg skjønner ikke hvorfor det skulle behøves igjen.

Det som er nøkkelen her er å forstå at man alltid vet at verten fjerner en geit, og ikke fjerner en dør tilfeldig.

[Nukleon]

Den matematiske modellen din er det ikke noe å si på, men i praksis kan jeg ikke tenke meg at det ville blitt slik. Opprinnelig etter at du har fått avslørt en "feil" dør har du valget mellom å bytte eller å beholde den du valgte. Du vil da ha valget mellom 1 av 2 dører, der 1 av dem inneholder en bil. Er ikke dette da 1/2 sjangs for å velge "riktig" ?

[Charlatan]

Det hadde vært riktig om det hadde vært lik sannsynlighet for at du velger en bil til å begynne med. Det er det ikke.

[2357]

Nei. Det du innbiller deg er at sannsynligheten ligger i det andre valget, om du vil bytte dør eller ei.

Nøkkelen ligger i det første valget. Du har 1/3 sjanse for å velge bilen, altså er det en større sjanse for at du tok en geit. Når det kommer til valget om å bytte dør er det allerede en større sjanse for at du tok en geit enn en bil på førstevalget. Ergo er det mest sannsynlig at den døren du ikke valgte er bilen, og du vil derfor gå ut med bil i flest av tilfellene hvor du bytter dør.

[Nukleon]

Ikke for å kvirulere, men klarer ikke å overtale meg selv til å forstå dette.

Hvis du velger en tilfeldig dør så vet du at en dør med geit bak vil bli åpnet etterpå. Da tenker jeg at sansynligheten kommer først da jeg skal ta det endelige valget mitt, siden mitt første valg alltid vil føre til at en av dørene vil bli åpnet som har en geit innforbi.