matematikk.net

Her er en oppgave jeg mener er temmelig utfordrende. Den krever ingen avanserte mattematiske verktøy, bare kreativitet. Annerkjennende nikk loves bort til dem som tør prøve.


Linje AD er 12cm
Linje BC er 9cm
vinkel DAB = vinkel ABC = vinkel AFE = 90º

Finn lengden til linje EF

(tegningen er bare en skisse)

Sett [tex]h = EF[/tex], [tex]a = AF[/tex] og [tex]b = FB[/tex].
Trekantene BFE og BAD er formlike, hvilket medfører at

(1) [tex]\; \frac{EF}{BF} \;=\; \frac{AD}{AB} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{x}{b} \;=\; \frac{12}{a+b} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; x \;=\; \frac{12b}{a+b}[/tex]

Likeledes er trekantene AFE og ABC er formlike, hvilket medfører at

(2) [tex]\; \frac{EF}{AF} \;=\; \frac{BC}{AB} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{x}{a} \;=\; \frac{9}{a+b} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; x \;=\; \frac{9a}{a+b}[/tex]

(1) og (2) gir [tex]12b = 9a[/tex], dvs. at [tex]\, b = 3a/4[/tex]. Dermed blir

[tex]EF \:=\: x \:=\: \frac{9a}{a+b} \:=\: \frac{9a}{a+3a/4} \:=\: \frac{9 \cdot 4}{1 \cdot 4+3} \:=\: \frac{36}{7} \:=\: 5 \, \frac{1}{7}[/tex].

En alternativ måte er å plassere A i origo. Slik at; A = (0, 0) , B = (x[sub]1[/sub], 0) , C = (x[sub]1[/sub], 9) og D = ( 0, 12).

Kaller så AC for l og BD for m. Lager 2 linjer. l går gjennom origo (b = 0) og stigningstallet til l er:
[tex]a=\frac{9-0}{x_1-0}={9\over x_1}[/tex]
og
[tex]y_l={9\over x_1}x[/tex]
---------------------------------------------

tilsvarende for m:
[tex]a_m=\frac{12-9}{0-x_1}=-{3\over x_1}[/tex]

[tex]y_m=-{3\over x_1}x\,+\,12[/tex]

lengden til EF er der l og m krysses, dvs:

[tex]y_l = y_m[/tex]

[tex]{9\over x_1}x\,=\,-{12\over x_1}x\,+\,12[/tex]
som gir
[tex]x\,=\,{12\over 21}x_1[/tex]

[tex]y_l={9\over x_1}\cdot {12\over 21}x_1={36\over 7}[/tex]

EF = 36/7

Annerkjennende nikk utdeles Svarene er riktig.
(Var kanskje ikke så vanskelig å fordøye for sultne gamle løvemager?)