Ordner opp i noe rusk fra i stad
Thales skrev:
[tex]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty i = {(tan (a))}^i\cdot{(tan (b))}^{i-1}\cdot {x}[/tex]
Eller:
[tex]((tan (a))^1\cdot{x})+((tan (a))^2\cdot{(tan (b))}\cdot {x})+((tan (a))^3\cdot{(tan (b))}^2\cdot {x})..........+((tan (a))^n\cdot{(tan (b))}^{n-1}\cdot {x})[/tex]
hvor
[tex]a<90\\b>90\\a+b<180[/tex]
For det første gir ikke [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty i = {(tan (a))}^i\cdot{(tan (b))}^{i-1}\cdot {x}[/tex] noen mening, men regner med du mente [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty {(tan (a))}^i\cdot{(tan (b))}^{i-1}\cdot {x}[/tex]
Dessuten har du undert notert en øvre grense for rekken - nemlig
n, som strider mot at det er en uendelig rekke som tidligere antydet...
Jeg anter vi skal finne den uendelige.
En kriterie som må gjelde er at [tex]|\tan a \cdot \tan b|[/tex] < 1 som medfører at [tex]b-a>90^\circ[/tex] (Antar forresten at a,b>0)
Vi kan prøve med et par vinkler a og b:
a=15, b = 150. Da er alle kriteriene oppfylt. Vi finner tan a og tan b:
[tex]\tan a= 2- \sqrt{3}[/tex]
[tex]\tan b = - \frac{\sqrt{3}}{3} [/tex]
Nå er [tex]\tan a \cdot \tan b=-(2-\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{3})=1-\frac{2\sqrt{3}}{3} > -1[/tex]
Vi finner summen:
[tex]\displaystyle\sum_{i=0}^\infty {(tan (a))}^i\cdot{(tan (b))}^{i-1}\cdot {x}=\frac{x}{\tan{b}}\displaystyle\sum_{i=0}^\infty (\tan (a) \cdot \tan (b))^i = \frac{x}{\tan{b}}\displaystyle\sum_{i=0}^\infty (1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^i=\frac{x}{\tan{b}}\frac{1}{1-(1-\frac{2\sqrt{3}}{3})}=\frac{x}{\tan{b}}\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Da blir summen vi skal finne [tex]\frac{x}{\tan{b}}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1) = \frac{x}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)=x(\sqrt{3}-\frac{3}{2})[/tex]
Hvis vi bruker ditt uttrykk får vi [tex]x\frac{\sin15}{\sin(180-150-15)}=x[/tex], som klart ikke stemmer.
Uttrykket man ender opp med er [tex]\frac{x\tan{a}}{1-\tan{a}\tan{b}}= \frac{x}{\cot{a}-\tan{b}}[/tex]
Vi kan uttrykke det kun med "sinus" hvis man ønsker det, men det blir ikke like pent.
PS: Holder dere på med trigonometri i 9. klasse? I så fall er det fint at de flinkere elevene får holde på med litt mer avanserte ting på skolen din.
