Summa summarum

[daofeishi]

Ta for deg alle mulige summer på formen
[tex]x_1 + x_2 + 2x_3 + 5x_4 + 10x_5 + 10x_6 + 20x_7 + 50x_8[/tex]
der hver x er enten -1, 0 eller 1.

Vis at det finnes et tall som kan uttrykkes på minst 33 ulike måter som en slik sum.

[Knuta]

Bare 33?

Jeg skal ikke si hverken det negative eller positive tallet, men jeg ga opp å regne ut/telle da jeg passerte over 35 løsninger.

[daofeishi]

Huffda, høres ut som en slitsom måte å bevise det på. Legg merke til at det står minst, og at det er fint å komme med en løsningmetode som lar seg generalisere til andre summer av liknende type

[Knuta]

Ikke slitsomt. Tok en rask hdoeregning som viste meg at det fantes over 35 løsninger på et spesifikt tall.

Men er du ute etter en løsning allà [tex]f_n = m[/tex]

[daofeishi]

Vel, intet er bevist før det er nede på papir (eller skjerm) - så inntil videre kan jeg nonchalant hevde at du ikke har bevist påstanden ennå

Vi kan generalisere - La oss si vi har en sum på formen [tex]\sum _{i = 1}^n a_ix_i[/tex] der [tex]x_i \in S \subset \mathbb{Z}[/tex]
Finn en øvre grense for M, slik at påstanden "det vil finnes en sum som kan representeres på M ulike måter" alltid er sann.

[Sonki]

Morsom oppgave som (jeg tror) kan løses med dueboksprinsippet

Forslag til svar:
maksimumsverdien til summen er :
[tex] 1 + 1 + 2 + 5 + 10 + 10 + 20 + 50 = 99[/tex]
Minimumsverdien er dermed åpenbart [tex]-99[/tex]
Dermed kan summen bare bli heltall i intervallet [tex][-99,...99][/tex], og det er dermed [tex]199[/tex] forskjellige tall summen kan bli.
Vi teller så opp antall måter det er mulig å uttrykke en sum på hvor vi har [tex]x_1 + x_2 + 2x_3 + 5x_4 + 10x_5 + 10x_6 + 20x_7 + 50x_8[/tex] der hver x er enten -1, 0 eller 1. Vi ser at [tex]x_1[/tex] kan få 3 verdier, og for hver av disse kan [tex]x_2[/tex] få 3 verdier osv... tilsammen [tex]3^8 = 6561[/tex] kombinasjoner
Vi har altså [tex]6561[/tex] ulike måter å utrykke en sum på, men bare 199 forskjellige summer. Ergo må minst en sum kunne utrykkes på [tex][\frac{6561}{199}] = 33 [/tex] forskjellige måter
[tex][a][/tex] betyr det minste heltall større eller lik [tex]a[/tex]
stemmer det?

[daofeishi]

Flott, Sonki! Stemmer! Prøv å generalisere nå.

Ofte noteres "største heltall mindre enn"-funksjonen/gulvfunksjonen vha. \lfloor og \rfloor, slik: [tex]\lfloor \frac{a}{b}\rfloor[/tex]
Takfunksjonen noteres ofte vha. \lceil og \rceil
[tex]\lceil \frac{a}{b}\rceil[/tex]