matematikk.net

Ta for deg alle mulige summer på formen
[tex]x_1 + x_2 + 2x_3 + 5x_4 + 10x_5 + 10x_6 + 20x_7 + 50x_8[/tex]
der hver x er enten -1, 0 eller 1.

Vis at det finnes et tall som kan uttrykkes på minst 33 ulike måter som en slik sum.

Bare 33?

Jeg skal ikke si hverken det negative eller positive tallet, men jeg ga opp å regne ut/telle da jeg passerte over 35 løsninger.

Huffda, høres ut som en slitsom måte å bevise det på. Legg merke til at det står minst, og at det er fint å komme med en løsningmetode som lar seg generalisere til andre summer av liknende type

Ikke slitsomt. Tok en rask hdoeregning som viste meg at det fantes over 35 løsninger på et spesifikt tall.

Men er du ute etter en løsning allà [tex]f_n = m[/tex]

Vel, intet er bevist før det er nede på papir (eller skjerm) - så inntil videre kan jeg nonchalant hevde at du ikke har bevist påstanden ennå

Vi kan generalisere - La oss si vi har en sum på formen [tex]\sum _{i = 1}^n a_ix_i[/tex] der [tex]x_i \in S \subset \mathbb{Z}[/tex]
Finn en øvre grense for M, slik at påstanden "det vil finnes en sum som kan representeres på M ulike måter" alltid er sann.

Morsom oppgave som (jeg tror) kan løses med dueboksprinsippet

Forslag til svar:
maksimumsverdien til summen er :
[tex] 1 + 1 + 2 + 5 + 10 + 10 + 20 + 50 = 99[/tex]
Minimumsverdien er dermed åpenbart [tex]-99[/tex]
Dermed kan summen bare bli heltall i intervallet [tex][-99,...99][/tex], og det er dermed [tex]199[/tex] forskjellige tall summen kan bli.
Vi teller så opp antall måter det er mulig å uttrykke en sum på hvor vi har [tex]x_1 + x_2 + 2x_3 + 5x_4 + 10x_5 + 10x_6 + 20x_7 + 50x_8[/tex] der hver x er enten -1, 0 eller 1. Vi ser at [tex]x_1[/tex] kan få 3 verdier, og for hver av disse kan [tex]x_2[/tex] få 3 verdier osv... tilsammen [tex]3^8 = 6561[/tex] kombinasjoner
Vi har altså [tex]6561[/tex] ulike måter å utrykke en sum på, men bare 199 forskjellige summer. Ergo må minst en sum kunne utrykkes på [tex][\frac{6561}{199}] = 33 [/tex] forskjellige måter
[tex][a][/tex] betyr det minste heltall større eller lik [tex]a[/tex]
stemmer det?

Flott, Sonki! Stemmer! Prøv å generalisere nå.

Ofte noteres "største heltall mindre enn"-funksjonen/gulvfunksjonen vha. \lfloor og \rfloor, slik: [tex]\lfloor \frac{a}{b}\rfloor[/tex]
Takfunksjonen noteres ofte vha. \lceil og \rceil
[tex]\lceil \frac{a}{b}\rceil[/tex]