Bestem grenseverdien
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\lim_{x\to 1}\,\, \frac{\Large x^3\,-\,1}{\int_1^{x^2}e^{t^2}{\rm dt}}[/tex]
Sist redigert av Janhaa den 08/07-2008 01:01, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Etter god hjelp fra Magnus og tailpush7:
Vi ser at både teller og nevner går mot null, og anvender derfor L'Hôpitals regel:
[tex]\lim_{x\to 1} \ \frac{x^3 - 1}{\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t} = \lim_{x\to 1} \ \frac{\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[x^3 - 1\large\right]}{\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t\large\right]}[/tex]
Ser på den deriverte av integralet, anvender fundamentalteoremet.
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t\large\right] = F^,(x^2) - F^,(1)[/tex]
[tex]u = x^2[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}u}\large\left[\int_1^{u}e^{t^2}\rm{d}t\large\right] = F^,(u) - F^,(1)[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}F}{\rm{d}u} = f(u) = e^{u^2}[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}F}{\rm{d}x} = \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \cdot \ \frac{\rm{d}F}{\rm{d}u} = 2x \cdot e^{x^4}[/tex]
Og vi ender opp med:
[tex]\lim_{x\to 1} \ \frac{x^3 - 1}{\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t} = \lim_{x\to 1} \ \frac{3x^2}{2xe^{x^4}} = \frac{3}{2e}[/tex]
Vi ser at både teller og nevner går mot null, og anvender derfor L'Hôpitals regel:
[tex]\lim_{x\to 1} \ \frac{x^3 - 1}{\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t} = \lim_{x\to 1} \ \frac{\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[x^3 - 1\large\right]}{\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t\large\right]}[/tex]
Ser på den deriverte av integralet, anvender fundamentalteoremet.
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\large\left[\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t\large\right] = F^,(x^2) - F^,(1)[/tex]
[tex]u = x^2[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}u}\large\left[\int_1^{u}e^{t^2}\rm{d}t\large\right] = F^,(u) - F^,(1)[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}F}{\rm{d}u} = f(u) = e^{u^2}[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}F}{\rm{d}x} = \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \cdot \ \frac{\rm{d}F}{\rm{d}u} = 2x \cdot e^{x^4}[/tex]
Og vi ender opp med:
[tex]\lim_{x\to 1} \ \frac{x^3 - 1}{\int_1^{x^2}e^{t^2}\rm{d}t} = \lim_{x\to 1} \ \frac{3x^2}{2xe^{x^4}} = \frac{3}{2e}[/tex]